JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin
  • ראשי » 
  • IT
  •  » לא סתם אפס מאופס

לא סתם אפס מאופס

על הבנת תפקיד האפס בהיסטוריה של הרעיונות

לא סתם אפס מאופס commons.wikimedia.org
ינואר 01
09:30 2019

ביום 14 בדצמבר 2018 פורסם ב"וויינט" המאמר "קיצור תולדות האפס" מאת ד"ר יוסי אלרן, מנהל המאיץ החינוכי-מדעי של מכון דוידסון. מאמר זה הוצג לראשונה יום קודם לכן, באתר מכון דוידסון במדור "מדע במבט-על". ד"ר יוסי אלרן ראוי לשבחים רבים על מאמציו ופועלו להפצת החינוך המדעי והמתמטי בציבור בישראל. אבל במאמר הזה הוא מבטא ומפיץ בלבול יסודי שפוגע למעשה בהבנת החשבון ותולדותיו.

כבר בהצהרתו שלאפס יש שני תפקידים (האחד להיות מספר מונה והשני להיות ספרה) הוא מצהיר על הבלבול שבין ספרת האפס שהיא סימן ובין המספר אפס, המסומן באמצעותה. לא אכנס לבירור מפורט של ההבדל שבין סימן למסומן והשפעת ההתעלמות העקבית ממנו על איכות החינוך המתמטי. אעיר רק, שכבר ביוון העתיקה הבינו תלמידי הסטואה שחובה להבחין בין סימן למסומן. הם היו אלה שפיתחו תורות לוגיות בעלות ערך רב העולה על תורת הלוגיקה של אריסטו. ובעקבות הצייר מגריט אוכל לטעון כי המילה "מקטרת" הכתובה כאן, אף שהיא מסמנת מקטרת, אינה מקטרת. אי-אפשר למלא אותה בטבק. אי-אפשר לעשן באמצעותה. אתעכב מעט על בעיה שנוצרת בגלל הבלבול הזה שבין סימן למסומן, בידיעת תולדות החשבון.

במאה ה-9 פרסם המתמטיקאי אבו-ג'עפר מוחמד אבן-מוסא אל-ח'וואריזמי את המצאתו בדבר שיטות לביצוע חישובים כטכניקות שאינן דורשות חשיבה או התחשבות בתוכנם של החישובים. אלה היו טכניקות המתבצעות על סדרות של ספרות שייצגו מספרים. 11 מאות שנים מאוחר יותר הובילו הטכניקות הללו להמצאת מושג החישוב המכני האוניברסלי, כלומר, להמצאת המחשבים שניתנים לתכנות ולהמצאת שפות התכנות. ללא הבנת ההבדל בין סדרות של ספרות לבין המספרים עצמם, לא ניתן היה להבין את המצאתו של אל-ח'וואריזמי ואף לא לפתח הבנה זו לניסיונות המרשימים להגדרת מושג החישוב בשנות ה-30.

המצאתו של אל-ח'וואריזמי התבססה על שתי המצאות שקדמו לה בכמה מאות שנים: האחת, שיטת הסימון של המספרים הטבעיים באמצעות סדרות של סימנים, כולל הסימן למספר אפס, שהתפתחה בהדרגה במשך מאות שנים; והשנייה, הרעיון להשתמש באופן עקבי במספר עשר לייצוג המספרים כסכומי חזקות של עשר. שיטה זו נקראת "שיטת הבסיס העשרוני", וניתן לאתר אותה בראשיתה של השפה העברית, כמה מאות שנים לפני הספירה. הרכב שמות המספרים בעברית, למשל, בתנ"ך, מבוססים על שיטה זו.

ייתכן מאוד, שאל-ח'וואריזמי הושפע גם מהמתמטיקאים הקדומים שחישבו את פרטי הלוח היהודי ותכונותיו. בתלמוד אפשר למצוא כמה דוגמאות לאלגוריתמים לבדיקות כגון מתי חלה שנת השמיטה. היו אלה אלגוריתמים המתייחסים אל ייצוג המספרים באמצעות אותיות בשיטה העשרונית.

יוצא אפוא שמדובר בכמה אירועים חשובים בתולדות החישובים והחשבון שהבנתם מתערפלת כאשר מבלבלים בין המספר אפס (שהתגלה בשל תכונותיו המתמטיות, כנראה במאה ה-7 בהודו) ובין השימוש בספרת האפס בייצוגים הספרתיים של המספרים לפי בסיסים שונים. המספר אפס (להבדיל מספרת האפס) מאופיין כאותו מספר שאינו משנה את תוצאת החיבור שלו עם כל מספר אחר. המשוואה  מגדירה באופן חד-ערכי את ערכו של המספר הנעלם כאפס. לעומתו, אם נוסיף את הספרה '0' לקוד ספרתי של מספר, אנו עלולים להגדיל את ערכו של הקוד פי עשר.

המצאת בניית שמות המספרים (במילים) לפי בסיס 10, בשפה העברית, קדמה אם כך, לכל ההמצאות שהוזכרו לעיל, ושיטות החישוב של הלוח היהודי, הנקראות "סוד העיבור", היו ידועות כבר במאה ה-4 לפני הספירה, כמו כן ידוע לנו בבירור שאל-ח'וואריזמי חקר אותן. דרך אגב, המתמטיקאי גאוס הצהיר ששיטות אלה הן השימושיות ביותר לקביעת לוח שמתחשב גם בתנועת כדור הארץ סביב השמש (עונות השנה) וגם בתנועת הירח (מופעי הירח וחודשי השנה) וגם במשך חייו של אדם בממוצע.

מאוחר יותר המציאו את שיטת הייצוג הספרתי המבוססת והמוכרת לנו, שאפשרה במאה ה-9 את המצאת שיטות החישוב המוכרות לנו כיום כשיטות החשבון של אל-ח'וואריזמי, המרכיבות כיום את עיקר תוכני הלימודים בחשבון בגיל הרך ובבית-הספר היסודי. השכיחות הרבה של הבלבול בין הסימנים הכתובים והתהליכים הטכניים המבוצעים עליהם, לבין מושגי החשבון (הנוגעים למספרים ולפעולות החשבון) יכולה להסביר את הקושי המתמיד והשכיח בהבנת החשבון עוד בחינוך היסודי.

הבלבול בין הספרות למספרים מתקשר לבלבולים נוספים, למשל בין מונחים למושגים, בין המביע למובע, בין כינוי למשמעותו, ולכן, בלבול זה קשור גם לבלבול שבין נתונים למידע שמלווה את חשיבתם של מרבית המשתמשים ב"טכנולוגיה החדשנית", כולל של אלה המכשירים אותם. הביטוי "מערכות מידע" מייצג את העובדה שמדובר במערכות נתונים המשמשות ככלי-עזר להפקת מידע. ההבחנה בין נתונים (שאינם אלא תבניות של סדרות של סימנים) למידע, שהוא התוכן של הסדרות, דרושה לביסוס שימוש מושכל במערכות אלה. לדוגמה, ללא הבחנה זו, השימוש בתוכנה כלשהי לאיתור "מידע" במערכת של קבצים, מידרדר לפעולות מטופשות ולא יעילות. לדוגמה, מתוך 50 תלמידי תואר שני בחינוך, בתוכניות על "טכנולוגיה בחינוך", 48 השתמשו רק במילה "השפעה" כדי לאתר מה טען מקלוהן על השפעת הטכנולוגיה. כך נוצר הצורך במומחים מקצועיים לאיתור קבצים המורכבים מתווים והמאוחסנים בשרתים ברשת, מומחים הקוראים לעצמם "מידענים".

ייתכן שגם סוגיית הבינה ה"מלאכותית" קשורה לבלבולים אלה, מכיוון שכל רעיון הבינה ה"מלאכותית" מבוסס על האמונה בזהות שבין חשיבה וידיעה לבין ההדמיות שלהן. הרובוטים, שרבים מפחדים שישלטו בנו, לא יֵדעו דבר, אלא רק יציגו העמדת פנים של ידיעה. מבחן טיורינג המפורסם בוחן עד כמה העמדת הפנים הזו מצליחה לרמות אותנו. עלינו להבין כי בשעה שכל הדמיה של חישוב היא חישוב, הדמיה של ידיעה היא, בדרך כלל, רמאות. לדוגמה, העתקה בבחינה היא הדמיה של ידיעה.

כל אלה הן פרשיות עגומות לעצמן והתייחסתי אל חלק מהן במאמרים שונים באתר זה. עליי לציין בצער, כי מאמרו של ד"ר אלרן מעיד על תפוצת הבלבול של זהות הספרה אפס עם המספר אפס ועל תמונה מעוותת של תולדות המתמטיקה הנובעת מבלבול זה, גם בקרב העוסקים בחינוך המתמטי.

לבדיקת הבנתכם, אנא מצאו את המאמר ברשת ובדקו, כמה פעמים מופיעה בו הזהות המבלבלת בין ספרה למספר. ואם אתם גם אוהבי חידות, מצאו גם כמה מספרים טבעיים יכולים להיות אפס וכמה פעמים הספרה אפס מופיעה במאמר הזה.

על המחבר / המחברת

יהושפט (שפי) גבעון

יהושפט (שפי) גבעון

פרופסור. לימודי פיסיקה, פסיכולוגיה ניסויית, ופילוסופיה לתואר ראשון ולימודי מתמטיקה לתואר שני (האונ' העברית). תואר שני ושלישי במדעי התקשורת והמחשבים (אונ' מישיגן).

13 תגובות

  1. ע.
    ע. ינואר 01 2019, 11:37
    לא רוצה סתם להתחנף

    אבל בחיים לא קראתתי כאלה מאמרים מיוחדים. כל כך שונים ואחרים.

    השב לתגובה
  2. מאבחן
    מאבחן ינואר 01 2019, 17:02
    תמיד יש לך טענות נגד האינטלגנציה המלאכותית

    למה?

    השב לתגובה
    • רעיונאי
      רעיונאי ינואר 02 2019, 03:18
      לפרופסור שפי

      הספרה אפס והמספר אפס שתיהן בדיוק אותו דבר. אפס = אפס. יש להן אותו תפקיד, עם בכלל, בהיסטוריה של הרעיונות. בעצם תפקידו היחיד של האפס הוא להיות גשר בין 1- ל 1+ לא יותר ולא פחות. לא ברור לשם מה כל הבלטריסטיקה שבמאמר .

      השב לתגובה
      • יהושפט גבעון
        יהושפט גבעון ינואר 02 2019, 10:29
        מצטער שלא הבנת שהמלה מקטרת איננה מקטרת

        תגובתך מוכיחה שני דברים:
        1. שלא הצלחתי להסביר לך שסימן ומספר הם דברים שונים זה מזה לחלוטין;
        2. שיש צורך להסביר זאת כי למרות הכול אנשים מתקשים בראיית ההבדל.
        חבל..

        השב לתגובה
        • רעיונאי
          רעיונאי ינואר 03 2019, 01:17
          לפרופסור שפי

          אם המילה מקטרת איננה מקטרת אז איך אפשר לדעת שמקטרת היא באמת מקטרת ללא המילה מקטרת?
          ואם באמצעות המילה מקטרת יודעים שמקטרת היא מקטרת אז מה ההבדל?

          השב לתגובה
          • יהושפט גבעון
            יהושפט גבעון ינואר 06 2019, 12:02
            לרעיונאי

            אם המלה מקטרת היא מקטרת, אז יש למקטרת חמש אותיות שונות. ובאנגלית יש למקטרת ארבע אותיות (ורק שלוש מהן שונות). אז מכמה אותיות מורכבת מקטרת?

            נובעות מטענתך טענות מוזרות נוספות:

            אם המלה העברית 'מקטרת' היא מקטרת, אז היא גם המלה האנגלית 'pipe', וכל מי שיודע עברית (לפחות את שמות העצם בעברית) יודע בלי ללמוד גם אנגלית.

            כדאי שתחשב מסלול מחדש ביחס להבנתך את ההבדל שבין עולם השפה לעולם העצמים.

            המקרה של ספרת האפס מקשה יותר, כי המספר אפס הומצא לפני שהומצאו הספרות (והיו מקטרות לפני שדברו בעברית…).

            אם נקבל את טענתך על המילה 'מקטרת', נצטרך להסיק שידיעת הקודים הספרתיים של המספרים מספיקה לצורכי ידיעת תורת המספרים, וכן תיתקל במשפטי אי-השלמות של גו'דל שהוכיח שלא ניתן לייצג את תורת המספרים באופן שלם על-ידי הספרות. אז לדעתך הוא שגה?

            השב לתגובה
    • יהושפט גבעון
      יהושפט גבעון ינואר 02 2019, 10:25
      האם זה לא חוקתי לבוא בטענות אל מהות מומצאת??

      כמאבחן אתה רגיש מאד, ועל כך אני מתנצל.

      אינני בטוח שבדקת את כל ארבעים ואחד המאמרים שלי כדי להגיע לאבחנה שתמיד יש לי טענות נגד משהו שאני טוען אולי לעיתים קרובות מדי, שאיננו קיים…

      השב לתגובה
  3. הנרי קשטן
    הנרי קשטן ינואר 02 2019, 15:08
    נחמד אינטליגנטי ומעניין

    אפילו אם לא לכל דבר מסכימים

    השב לתגובה
  4. יהושפט גבעון
    יהושפט גבעון ינואר 02 2019, 18:13
    תודה

    אף אדם אינו חסין מפני טעויות ושגיאות. אנא ציין משהו שאינך מסכים איתו ואבדוק.

    השב לתגובה
  5. צינוש
    צינוש ינואר 03 2019, 13:26
    לאפסים יש עוצמה לא מוערכת

    קחו סתם אחד
    תנו לו להוביל נניח שישה אפסים
    ואתם מקבלים מיליון!

    השב לתגובה
    • יהושפט גבעון
      יהושפט גבעון ינואר 04 2019, 19:30
      מצטער...

      קוד למיליון תקבל רק מצירוף של 6 ספרות אפס לספרה אחת וגם זאת רק בבסיס 10.
      לספרת האפס יש עוצמה רבה. המספר אפס לא משתנה באפסיותו…

      השב לתגובה
  6. עדה שתיל
    עדה שתיל ינואר 04 2019, 16:32
    כתיבה מיוחדת

    שילוב של טכנולוגיה ופילוסופיה.

    השב לתגובה
    • יהושפט
      יהושפט ינואר 06 2019, 17:16
      שמח לקבל גם שבחים

      תודה עדה.
      המאמר קשור יותר ללוגיקה אבל היז זמנים שבהם הלוגיקה נחשבה כחלק של הפילוסופיה. הוא אכן קשור גם לתכנות, כי כל מי שלמד תכנות היה צריך לדעת להבדיל בין מחרוזות למספרים ובעיקר בין אזכור מילה לבין שימוש במילה.

      השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בIT

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!