JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (57)

ריבוע וקובייה

חידות חשיבה (57) ד"ר יצחק קאופמן
אפריל 14
19:30 2019

 

(א) ברשותנו מרצפות שכולן מהסוג המופיע באיור א' בצד ימין. האם ניתן לרצף (לכסות באופן מושלם) באמצעותן לוח של (10 כפול 10) משבצות?

הערות: 1. מותר לסובב את המרצפות.    2. גודל כל המשבצות במרצפות ובלוח הוא זהה.

(ב) באיור א' בצד שמאל מתוארת קובייה גדולה שמורכבת מ- 27 קוביות קטנות וזהות. האם יש מסלול שמתחיל בקובייה קטנה חיצונית כלשהי, עובר מקובייה לקובייה רק דרך מרכזי הפאות, עובר בכל אחת מהקוביות פעם אחת בדיוק ומסתיים בקובייה המרכזית?

רמז (אם אתם זקוקים לו)

הרמז הוא זהה לשני חלקי החידה: צבעו את המשבצות במרצפות, את המשבצות בלוח ואת 27 הקוביות הקטנות בשחור ולבן לסירוגין, כמו בלוח שחמט.

 

 

פתרון

(א) כשצובעים את המשבצות בכל אחת מהמרצפות בשחור ולבן לסירוגין מקבלים שני סוגים של מרצפות, כפי שמתואר באיור ב': משמאל סוג A שבו 3 משבצות שחורות ומשבצת אחת לבנה, ומימין סוג B שבו 3 משבצות לבנות ומשבצת אחת שחורה.

כשצובעים את משבצות הלוח של (10 כפול 10) באותו אופן מקבלים 50 משבצות שחורות ו- 50 משבצות לבנות. כדי לרצף לוח שבו מספר זהה של משבצות שחורות ושל משבצות לבנות חייבים להשתמש באותו מספר של מרצפות מסוג A ושל מרצפות מסוג B. אבל כדי לרצף לוח של 100 משבצות יש צורך ב- 25 מרצפות ולכן לא ייתכן שמספר המרצפות מסוג A יהיה שווה למספר המרצפות מסוג B. המסקנה היא שלא ניתן לרצף לוח של (10 כפול 10) משבצות באמצעות המרצפות שברשותנו.

(ב) נוכיח שלא קיים מסלול שעונה על דרישות החידה.

כדי להוכיח זאת נצבע את 27 הקוביות הקטנות בשחור ולבן לסירוגין ונקבל מעין קוביית שחמט. נניח שהקוביות הפינתיות הן שחורות כפי שמתואר באיור ג'.

"נפרוס" את הקובייה ל- 3 פרוסות כפי שמתואר באיור ד': הפרוסה האחורית מתוארת בחלק העליון, הפרוסה האמצעית מתוארת בחלק האמצעי והפרוסה הקדמית מתוארת בחלק התחתון. ניתן לראות שבמקרה זה מתוך 27 הקוביות הקטנות, 14 הן שחורות ו- 13 הן לבנות.

המסלול המבוקש חייב לעבור מקובייה שחורה ללבנה או מקובייה לבנה לשחורה. לכן, אם המסלול עובר בכל קובייה פעם אחת בדיוק, אזי הוא חייב להתחיל בקובייה שחורה ולהסתיים בקובייה שחורה (כי מספר הקוביות השחורות גדול ממספר הקוביות הלבנות). אבל בצביעה שבחרנו הקובייה המרכזית היא לבנה ולכן לא קיים מסלול כמבוקש.

במקרה שהקוביות הפינתיות הן לבנות משתמשים באותם טיעונים אלא שאז ישנן 14 קוביות לבנות, 13 קוביות שחורות וקובייה מרכזית שחורה.

למעוניינים בהרחבה

צורת המרצפות בחלק א' של החידה נקראת טטרומינו.

אתם מכירים בוודאי את המשחקים דומינו וטטריס. בדומינו אבני המשחק מורכבות משני ריבועים שווים. בטטריס הצורות מורכבות מארבעה ריבועים שווים והן נקראות טטרומינו. השמות דומינו וטטרומינו נגזרים ממספר הריבועים המרכיבים את הצורות ובהתאם לשמות המספרים ביוונית. הם מהווים חלק ממשפחת הפולימינו (פולי=רבים) הכוללת את המונומינו (צורות שמורכבות מריבוע יחיד), דומינו (צורות שמורכבות משני ריבועים), טריומינו (צורות שמורכבות משלושה ריבועים), טטרומינו (צורות שמורכבות מארבעה ריבועים), פנטומינו (צורות שמורכבות מחמישה ריבועים) וכן הלאה.

מתמטיקאים בתחום הקומבינטוריקה ופיזיקאים בתחום הקריסטלוגרפיה מתעניינים בתכונות המתמטיות של הפולימינו. שאלות שנחקרות הן, למשל, בעיות ריצוף של משטחים או מציאת חוקיות במספר צורות הפולימינו (שאינן חופפות זו לזו) שניתן ליצור ממספר כלשהו של ריבועים. כאשר מספר הריבועים הוא קטן, הבעיה היא פשוטה:  יש מונומינו יחיד, יש דומינו יחיד, ישנם שני טריומינו, ישנם חמישה טטרומינו, ישנם 12 פנטומינו. אבל הבעיה הופכת למסובכת יותר ויותר ככל שמגדילים את מספר הריבועים והמחקר מסתייע במחשבים חזקים.

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. יהונתן גורביץ
    יהונתן גורביץ אפריל 17 2019, 13:19
    חידות לחידוד השכל

    המינון המומלץ- אחד לשבוע עם סבלנות כדי שלא נטבע בכל השטויות שמציע האינטרנט.

    השב לתגובה
  2. אסתר מירון
    אסתר מירון אפריל 19 2019, 12:16
    החידות של ד"ר קאופמן באמת מיוחדות

    לפעמים יותר קשה לפעמים פחות
    אבל תמיד מעניין

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בחידות

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!