JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (63)

קבוצת הכדורגל ברצלונה (חלק ב')

חידות חשיבה (63) תמונה: Pumbaa80 wikimedia.org
מאי 27
19:30 2019

אחד עשר שחקני קבוצת הכדורגל ברצלונה נוהגים להסתדר בשלוש צורות.

צורה א': בסיום המשחק הם מתייצבים בשורה מול היציעים ומודים לאוהדיהם.

צורה ב': לפני תחילת המשחק הם עומדים חבוקים במעגל ומעודדים זה את זה.

צורה ג': כמו בצורה א' אבל שלושת כוכבי הקבוצה (מֶסִי, סוּאָרֶס ופִּיקֶה) עומדים זה ליד זה.

 

מצאו בכמה אופנים שונים הם יכולים להסתדר בכל אחת מהצורות.

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

כשהשחקנים מסתדרים בשורה יש 11 מועמדים כמי שיתייצב ראשון במקום כלשהו בשורה, 10 מועמדים כמי שיתייצב שני במקום אחר כלשהו, וכן הלאה.

כשהשחקנים מסתדרים במעגל לא חשוב באיזה מקום במעגל יעמוד השחקן הראשון.

 

פתרון:

בצורה א' מסתדרים 11 השחקנים בשורה. המתייצב הראשון במקום כלשהו בשורה יכול להיות כל אחד מהם ולכן למקום זה קיימות11  אפשרויות. לאחר ששחקן כלשהו התייצב ראשון במקום כלשהו, נותרים 10 שחקנים שיכולים להתייצב במקום שני כלשהו, כלומר למקום השני קיימות 10 אפשרויות. לאחר ש- 2 שחקנים נעמדו במקומם, נותרים 9 שחקנים שיכולים לעמוד במקום שלישי כלשהו, כלומר למקום השלישי קיימות 9 אפשרויות. וכך ממשיכים: למקום הרביעי קיימות 8 אפשרויות, למקום החמישי קיימות 7 אפשרויות וכך הלאה עד שלמקום ה- 11 והאחרון יש רק אפשרות אחת. לכן מספר האפשרויות הכולל לסידור 11 שחקנים בשורה הוא 11 כפול 10 כפול 9 כפול 8 כפול 7 כפול 6 כפול 5 כפול 4 כפול 3 כפול 2 כפול 1. תוצאת המכפלה הזו היא 39,916,800. הכינוי המתמטי למכפלה הזו הוא (11 עֲצֶרֶת) והוא מסומן כ- 11 שאחריו סימן קריאה.

בצורה ב' מסתדרים 11 השחקנים במעגל. בסידור כזה למעשה "מדביקים" את סוף השורה לתחילתה. בניגוד לסידור בשורה, שבו יש חשיבות לכל אחד מהמקומות, בסידור במעגל אין חשיבות למיקום של השחקן הראשון אלא רק לאלה שבאים אחריו.

שני סידורים מעגליים שבהם ניתן להגיע מהאחד לשני על ידי סיבוב הם בעצם זהים. כדי לפשט את ההסבר נבחן את המקרה של 3 שחקנים שנכנה אותם א', ב' וג'. כאשר הם מסתדרים בשורה יש 6 אפשרויות שונות: אבג, אגב, באג, בגא, גאב, גבא. כשהם מסתדרים במעגל נניח שהם מתמקמים בשעות 2, 6 ו- 10 על פני שעון. במקרה זה שלושת הסידורים הבאים נחשבים כזהים: (א' בשעה 2, ב' בשעה 6, ג' בשעה 10); (א' בשעה 6, ב' בשעה 10, ג' בשעה 2); (א' בשעה 10, ב' בשעה 2, ג' בשעה 6). זאת משום שכל סידור מתקבל מהקודם לו על ידי סיבוב. לכן שלוש האפשרויות (אבג, בגא, גאב) שנחשבו שונות בסידור בשורה, הופכות לאפשרות אחת בסידור מעגלי. באותו אופן שלוש האפשרויות (אגב, גבא, באג) שנחשבו שונות בסידור בשורה, הופכות לאפשרות אחת בסידור מעגלי. המסקנה היא שמספר האפשרויות לסידור 3 שחקנים הוא 6 בסידור בשורה ו- 2 בסידור מעגלי, כלומר מצטמצם פי 3 (שהוא מספר השחקנים) כשעוברים משורה למעגל.

מהאמור לעיל ניתן להסיק שהתייצבות 11 שחקנים במעגל מתחלקת בעצם לשני שלבים. בשלב הראשון מתמקם אחד השחקנים במקום כלשהו במעגל ואין חשיבות למיקומו. הפירוש המתמטי של "אין חשיבות למיקומו" הוא שלבחירת המקום הראשון יש בעצם רק אפשרות אחת וספירת האפשרויות מתחילה רק בשלב השני. בשלב השני צריכים למקם את יתר 10 השחקנים ואז יש חשיבות למיקום כל אחד מהשחקנים, בדיוק כפי שהיה בסידור בשורה. המסקנה היא שמספר האפשרויות לסדר 11 שחקנים במעגל שווה למספר האפשרויות לסדר 10 שחקנים בשורה. לכן מספר האפשרויות לסדר 11 שחקנים במעגל הוא (10 עצרת) וערכו 3,628,800.

בצורה ג' מסתדרים 11 השחקנים בשורה אבל שלושת כוכבי הקבוצה (מֶסִי, סוּאָרֶס ופִּיקֶה) צריכים לעמוד זה ליד זה. במקרה זה צריך לחלק את 11 השחקנים לשתי קבוצות. הקבוצה הראשונה כוללת את שלושת הכוכבים ונכנה אותה בשם "גוש". הקבוצה השנייה כוללת את יתר 8 השחקנים. בחישוב מספר האפשרויות נתייחס תחילה ל"גוש" כאילו הוא שחקן יחיד שנוסף ל- 8 האחרים, כך שלכאורה ישנם 9 שחקנים. לכן בשלב הראשון צריך לחשב לא את מספר האפשרויות לסדר 8 שחקנים בשורה, אלא את מספר האפשרויות לסדר 9 שחקנים בשורה. כפי שראינו קודם מספר זה הוא (9 עצרת).

בשלב השני נתייחס לעובדה שה"גוש" איננו שחקן יחיד אלא מורכב מ- 3 שחקנים אשר יכולים להיות מסודרים בשורה באופנים שונים. כפי שראינו קודם מספר האפשרויות לסדר בשורה את 3 שחקני ה"גוש" הוא (3 עצרת).

התשובה הסופית היא מכפלת שני המספרים שהתקבלו בשלב הראשון ובשלב השני, כלומר (9 עצרת) כפול (3 עצרת) וזה שווה ל- 2,177,280.

 

סיכום:

כאשר X שחקנים מסתדרים בשורה, מספר אפשרויות הסידור הוא (X עצרת), במקרה שלנו (11 עצרת).

כאשר X שחקנים מסתדרים במעגל, מספר אפשרויות הסידור הוא (X מינוס 1, עצרת), במקרה שלנו (10 עצרת).

כאשר X שחקנים מסתדרים בשורה ומתוכם Y שחקנים מסוימים עומדים זה ליד זה, מספר אפשרויות הסידור הוא (X מינוס Y פלוס 1, עצרת) כפול (Y עצרת), במקרה שלנו (9 עצרת) כפול (3 עצרת).

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. חנן ריכמן
    חנן ריכמן יוני 01 2019, 13:22
    שימו לב לאורך הפיתרון והסיכום

    לעומת החידה שהיא קצרה. זה אומר בדיוק על הסיבוך והקושי של הפתרון.

    השב לתגובה
    • יצחק קאופמן
      יצחק קאופמן יוני 02 2019, 07:52
      תשובה לחנן

      א. אורך ההסבר לא מעיד בהכרח על הקושי בחידה. ייתכן מצב של חידה קשה עם פתרון קצר וחידה פשוטה עם פתרון ארוך.
      ב. הפתרון של החידה הנוכחית יכול להינתן בשורות מעטות אבל כשהנושא עקרוני אני מפרט בכוונה.
      ג. אין רע בחידות קשות.

      השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בחידות

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!