JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (74)

כלי השחמט (חלק ב')

חידות חשיבה (74)
אוקטובר 13
19:30 2019

נתון לוח שחמט סטנדרטי (8 שורות ו- 8 טורים). נזכיר שבכל משבצת יכול לעמוד כלי אחד בלבד.

הרץ (Bishop) שולט על כל המשבצות באלכסונים שבהם הוא מוצב. באיור 1 מסומנות ב- O כל המשבצות שעליהן שולט הרץ שמסומן ב"ר".

המלך (King) שולט על כל המשבצות הגובלות אופקית, אנכית או אלכסונית במשבצת שבה הוא מוצב. באיור הכותרת (למעלה) מסומנות ב- X כל המשבצות שעליהן שולט המלך שמסומן ב"מ".

שני כלים נחשבים כמאיימים זה על זה כאשר האחד נמצא בתחום השליטה של האחר (נתעלם כאן מצבע הכלים, כלומר גם כלים באותו צבע מאיימים זה על זה).י

 

(א) מהו המספר המקסימלי של רצים שניתן להציב על הלוח כך שאף אחד מהם לא יאיים על האחרים?

(ב) בכמה אפשרויות שונות ניתן להציב על הלוח שני מלכים כך שלא יאיימו זה על זה?

 

רמזים (אם אתם זקוקים להם):

(א) ספרו כמה אלכסונים שונים מרכיבים את לוח השחמט בכיוון מדרום-מערב לצפון-מזרח.

(ב) מספר המשבצות שעליהן שולט המלך משתנה בהתאם לכך אם הוא מוצב במשבצות הפינה, במשבצות השפה או במשבצות הפנימיות של הלוח.

 

פתרון:

(א) נתבונן בכל האלכסונים שקיימים בלוח השחמט. נבחר באופן שרירותי את האלכסונים שכיוונם מדרום-מערב לצפון-מזרח (אם נבחר באלכסונים שכיוונם מדרום-מזרח לצפון-מערב נקבל אותן מסקנות). ישנם 15 אלכסונים כאלה והם: א8 (אלכסון שבו משבצת אחת), א7 עד ב8, א6 עד ג8, א5 עד ד8, א4 עד ה8, א3 עד ו8, א2 עד ז8, א1 עד ח8, ב1 עד ח7, ג1 עד ח6, ד1 עד ח5, ה1 עד ח4, ו1 עד ח3, ז1 עד ח2, ח1 (אלכסון שבו משבצת אחת).

כל אחד מ- 15 האלכסונים האלה יכול להכיל רק רץ אחד ולכאורה נראה שניתן להציב 15 רצים שלא יאיימו זה על זה. אבל מתברר שישנם שני אלכסונים מיוחדים והם האלכסון הראשון (א8) והאחרון (ח1). המיוחד בהם הוא שהמשבצות א8 ו- ח1  נמצאות על אותו אלכסון ולכן ניתן להציב רץ רק באחת מהן. המסקנה היא שניתן להציב 13 רצים על 13 האלכסונים האחרים, ורץ אחד נוסף באחד מבין שני האלכסונים המיוחדים. מכאן שהמספר המקסימלי של רצים שניתן להציב על הלוח כך שאף אחד מהם לא יאיים על האחרים הוא 14. דוגמה להצבה כזו מובאת באיור 2.

הערה: ניתן להראות כי בלוח שבו יש N שורות ו- N טורים המספר המקסימלי של רצים שניתן להציב על הלוח כך שאף אחד מהם לא יאיים על האחרים הוא (2 כפול N) מינוס 2. פירוש הדבר שבלוח שבו יש 3 שורות ו- 3 טורים המספר המקסימלי הוא 4, בלוח שבו יש 10 שורות ו- 10 טורים המספר המקסימלי הוא 18, בלוח שבו יש 53 שורות ו- 53 טורים המספר המקסימלי הוא 104 וכו'.

 

(ב) באיור 3 ניתן לראות שהלוח מורכב משלושה סוגים של משבצות:

הסוג הראשון מכיל את 4 המשבצות המסומנות ב- A. הן נקראות משבצות הפינה.

הסוג השני מכיל את 24 המשבצות המסומנות ב- B. הן נקראות משבצות השפה.

הסוג השלישי מכיל את 36 המשבצות שאינן מסומנות. הן נקראות המשבצות הפנימיות.

את המלך הראשון ניתן להציב בכל אחת מ- 64 משבצות הלוח. כאשר מציבים אותו באחת מארבע משבצות הפינה אזי קיימות 4 משבצות שבהן לא ניתן להציב את המלך השני. 4 המשבצות מורכבות ממשבצת אחת שבה נמצא המלך הראשון, פלוס 3 המשבצות המקיפות אותה. לכן, לגבי כל משבצת פינה שבה מציבים את המלך הראשון, ישנן (64 מינוס 4), כלומר 60 משבצות אפשריות להצבת המלך השני.

כאשר מציבים את המלך הראשון באחת מ- 24 משבצות השפה אזי קיימות 6 משבצות שבהן לא ניתן להציב את המלך השני. 6 המשבצות מורכבות ממשבצת אחת שבה נמצא המלך הראשון, פלוס 5 המשבצות המקיפות אותה. לכן, לגבי כל משבצת שפה שבה מציבים את המלך הראשון, ישנן (64 מינוס 6), כלומר 58 משבצות אפשריות להצבת המלך השני.

כאשר מציבים את המלך הראשון באחת מ- 36 המשבצות הפנימיות אזי קיימות 9 משבצות שבהן לא ניתן להציב את המלך השני. 9 המשבצות מורכבות ממשבצת אחת שבה נמצא המלך הראשון, פלוס 8 המשבצות המקיפות אותה. לכן, לגבי כל משבצת פנימית שבה מציבים את המלך הראשון, ישנן (64 מינוס 9), כלומר 55 משבצות אפשריות להצבת המלך השני.

המסקנה היא שמספר האפשרויות השונות להצבת שני מלכים שאינם מאיימים זה על זה הוא

(4 כפול 60) פלוס (24 כפול 58) פלוס (36 כפול 55), כלומר בסך הכול 3612 אפשרויות.

הערה: חלק מהאפשרויות ה"שונות" אינן ממש שונות כי הן מהוות תמונה סימטרית של אפשרויות אחרות ומתקבלות כתוצאה מסיבוב הלוח או משיקוף שלו (תמונת ראי).

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. שגיא צלניק
    שגיא צלניק אוקטובר 15 2019, 13:39
    שילוב חידה ושח

    מובנת יותר למי שמכיר את המשחק

    השב לתגובה
    • יצחק קאופמן
      יצחק קאופמן אוקטובר 15 2019, 23:03
      לשגיא

      לא, אין צורך לדעת שחמט כדי להבין את החידה. כל הנתונים מובאים בתחילת החידה. זוהי חידה טהורה בנושא מניית אפשרויות.

      השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בחידות

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!