JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (77)

מנפלאות המספר 7

חידות חשיבה (77) תמונה: Andre666 at English Wikipedia
נובמבר 23
19:30 2019

כיוון שעסקינן בחידה 77, נקפיד להשתמש (בחידה עצמה, לא בפתרון) רק בספרה 7.

 

(א)  מהן שתי הספרות הימניות ביותר במספר 7 בחזקת 777, כלומר 7 כפול 7 כפול 7 כפול 7… וכך הלאה 777 פעמים?

(ב)  מעלים את המספר 7 בחזקת 7. את המספר שמתקבל מעלים שוב בחזקת 7 וכך ממשיכים 777 פעמים. מהי הספרה הימנית ביותר של המספר שמתקבל בסוף?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

כמובן שלא ניתן לחשב את המספרים המבוקשים בצורה ישירה, אבל צריך לשים לב שכאשר מעלים את 7 בחזקות הולכות וגדלות אזי שתי הספרות הימניות מופיעות באופן מחזורי.

 

פתרון:

(א) נרשום את החזקות הראשונות של 7.

7 בחזקת 1 שווה 7;   7 בחזקת 2 שווה 49;   7 בחזקת 3 שווה 343;

7 בחזקת 4 שווה 2401;   7 בחזקת 5 שווה 16807;   7 בחזקת 6 שווה 117649;

7 בחזקת 7 שווה 823543;   7 בחזקת 8 שווה 5764801;  7 בחזקת 9 שווה 40353607.

כמובן שלא נוכל להמשיך כך עד 7 בחזקת 777.

 

נרשום את שתי הספרות הימניות שקיבלנו עבור החזקות הראשונות:

חזקה ראשונה  – 07,  חזקה שנייה  – 49,  חזקה שלישית – 43,  חזקה רביעית – 01,

חזקה חמישית – 07,  חזקה שישית – 49,  חזקה שביעית – 43,  חזקה שמינית – 01,

חזקה תשיעית – 07.

ניתן להבחין שברשימת שתי הספרות הימניות קיימת מחזוריות: תחילה 07, לאחר מכן 49, לאחר מכן 43, לאחר מכן 01, ושוב 07 וחוזר חלילה.

 

המסקנה היא שבאופן כללי

אם החזקה מתחלקת ב- 4 עם שארית  1 אזי שתי הספרות הימניות הן 07

אם החזקה מתחלקת ב- 4 עם שארית  2 אזי שתי הספרות הימניות הן 49

אם החזקה מתחלקת ב- 4 עם  שארית 3 אזי שתי הספרות הימניות הן 43

אם החזקה מתחלקת ב- 4 בלי שארית    אזי שתי הספרות הימניות הן 01

 

על סמך מסקנה זו ניתן למצוא את שתי הספרות הימניות של 7 בחזקה כלשהי. במקרה הפרטי שלנו נשאלתם לגבי 7 בחזקת 777. כיוון שהמספר 777 מתחלק ב- 4 עם שארית 1, אזי שתי הספרות הימניות של 7 בחזקת 777 הן 07.

 

 

(ב) מכאן ואילך, במקום לומר "הספרה הימנית ביותר היא X", נרשום "המספר מסתיים ב- X".

ניתן לבדוק  ולהיווכח בקיומם של שני הכללים הבאים:

כאשר מספר כלשהו מסתיים ב- 7 ומועלה בחזקת 7, מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר מספר כלשהו מסתיים ב- 3 ומועלה בחזקת 7, מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

 

מכאן מקבלים:

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית פעם אחת מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית פעמיים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית שלוש פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית ארבע פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית חמש פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית שש פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

 

כלומר: בכל השלבים של ההעלאה בחזקת 7

כאשר ההעלאה בחזקה נעשית מספר אי-זוגי של פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקה נעשית מספר זוגי של פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

 

777 הוא מספר אי-זוגי ולכן כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית 777 פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. מוריה
    מוריה נובמבר 24 2019, 11:05
    כרגיל מאתגר

    כרגיל בסוף יש פתרון. אם לא בכוחות עצמך אז עם עזרת המחבר. אבל יוצאים עם פתרון חכם.

    השב לתגובה
  2. א.
    א. נובמבר 28 2019, 13:52
    אם מישהו היה עושה שיעור באוניברסיטה

    של חידות הגיון ברמה שאתם כותבים כאן, זה היה שיעור מועיל ומאתגר ומשעשע ומבוקש

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בחידות

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!