JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (77)

מנפלאות המספר 7

חידות חשיבה (77) תמונה: Andre666 at English Wikipedia
נובמבר 23
19:30 2019

כיוון שעסקינן בחידה 77, נקפיד להשתמש (בחידה עצמה, לא בפתרון) רק בספרה 7.

 

(א)  מהן שתי הספרות הימניות ביותר במספר 7 בחזקת 777, כלומר 7 כפול 7 כפול 7 כפול 7… וכך הלאה 777 פעמים?

(ב)  מעלים את המספר 7 בחזקת 7. את המספר שמתקבל מעלים שוב בחזקת 7 וכך ממשיכים 777 פעמים. מהי הספרה הימנית ביותר של המספר שמתקבל בסוף?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

כמובן שלא ניתן לחשב את המספרים המבוקשים בצורה ישירה, אבל צריך לשים לב שכאשר מעלים את 7 בחזקות הולכות וגדלות אזי שתי הספרות הימניות מופיעות באופן מחזורי.

 

פתרון:

(א) נרשום את החזקות הראשונות של 7.

7 בחזקת 1 שווה 7;   7 בחזקת 2 שווה 49;   7 בחזקת 3 שווה 343;

7 בחזקת 4 שווה 2401;   7 בחזקת 5 שווה 16807;   7 בחזקת 6 שווה 117649;

7 בחזקת 7 שווה 823543;   7 בחזקת 8 שווה 5764801;  7 בחזקת 9 שווה 40353607.

כמובן שלא נוכל להמשיך כך עד 7 בחזקת 777.

 

נרשום את שתי הספרות הימניות שקיבלנו עבור החזקות הראשונות:

חזקה ראשונה  – 07,  חזקה שנייה  – 49,  חזקה שלישית – 43,  חזקה רביעית – 01,

חזקה חמישית – 07,  חזקה שישית – 49,  חזקה שביעית – 43,  חזקה שמינית – 01,

חזקה תשיעית – 07.

ניתן להבחין שברשימת שתי הספרות הימניות קיימת מחזוריות: תחילה 07, לאחר מכן 49, לאחר מכן 43, לאחר מכן 01, ושוב 07 וחוזר חלילה.

 

המסקנה היא שבאופן כללי

אם החזקה מתחלקת ב- 4 עם שארית  1 אזי שתי הספרות הימניות הן 07

אם החזקה מתחלקת ב- 4 עם שארית  2 אזי שתי הספרות הימניות הן 49

אם החזקה מתחלקת ב- 4 עם  שארית 3 אזי שתי הספרות הימניות הן 43

אם החזקה מתחלקת ב- 4 בלי שארית    אזי שתי הספרות הימניות הן 01

 

על סמך מסקנה זו ניתן למצוא את שתי הספרות הימניות של 7 בחזקה כלשהי. במקרה הפרטי שלנו נשאלתם לגבי 7 בחזקת 777. כיוון שהמספר 777 מתחלק ב- 4 עם שארית 1, אזי שתי הספרות הימניות של 7 בחזקת 777 הן 07.

 

 

(ב) מכאן ואילך, במקום לומר "הספרה הימנית ביותר היא X", נרשום "המספר מסתיים ב- X".

ניתן לבדוק  ולהיווכח בקיומם של שני הכללים הבאים:

כאשר מספר כלשהו מסתיים ב- 7 ומועלה בחזקת 7, מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר מספר כלשהו מסתיים ב- 3 ומועלה בחזקת 7, מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

 

מכאן מקבלים:

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית פעם אחת מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית פעמיים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית שלוש פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית ארבע פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית חמש פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית שש פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

 

כלומר: בכל השלבים של ההעלאה בחזקת 7

כאשר ההעלאה בחזקה נעשית מספר אי-זוגי של פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

כאשר ההעלאה בחזקה נעשית מספר זוגי של פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 7.

 

777 הוא מספר אי-זוגי ולכן כאשר ההעלאה בחזקת 7 נעשית 777 פעמים מקבלים מספר שמסתיים ב- 3.

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. מוריה
    מוריה נובמבר 24 2019, 11:05
    כרגיל מאתגר

    כרגיל בסוף יש פתרון. אם לא בכוחות עצמך אז עם עזרת המחבר. אבל יוצאים עם פתרון חכם.

    השב לתגובה
  2. א.
    א. נובמבר 28 2019, 13:52
    אם מישהו היה עושה שיעור באוניברסיטה

    של חידות הגיון ברמה שאתם כותבים כאן, זה היה שיעור מועיל ומאתגר ומשעשע ומבוקש

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בחידות

יתר המאמרים במדור