JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (83)

קָפֵּל וגזור

חידות חשיבה (83) ד"ר יצחק קאופמן
פברואר 12
19:30 2020

(א) קחו דף 4A בודד והניחו עליו דף זהה נוסף. אם תחזרו על הפעולה הזו 50 פעם תקבלו ערימת נייר שגובהה כחצי סנטימטר.

מה יקרה אם במקום להניח דפים זה על גבי זה תקפלו את הנייר? קחו דף 4A בודד וקפלו אותו לשניים במרכזו. חזרו על הפעולה שוב ושוב. הקיפול נעשה קשה יותר ויותר ותאלצו לעצור לאחר 6 קיפולים. הסיבות לקושי הן עובי הנייר שהולך וגדל ושטחו שהולך ומצטמצם. כדי להשיג שיא במספר הקיפולים נעשו במקומות שונים בעולם ניסיונות מוזרים שבהם קיפלו שוב ושוב גלילי נייר טואלט באורך קילומטרים או משטחי נייר בגודל אצטדיון אולימפי תוך כדי העזרות במכבשים ענקיים. למיטב ידיעתי, השיא העולמי עומד על 13 קיפולים.

 

אבל נניח, לצורך החידה, שאין שום מגבלה על מספר הקיפולים ועל גודל הנייר ואתם תוכלו לקפל אותו שוב ושוב בלי סוף. נסו לשער מה יהיה גובה הערימה לאחר 50 קיפולים:

(1) קטן מ- 1 קילומטר;   (2) בין 1 ל- 10 קילומטר;   (3) יותר מ- 10 קילומטר.

 

(ב) קחו דף 4A וגזרו אותו (בכיוון מאונך לצדו הארוך) לשני חלקים זהים. את אחד החלקים גזרו שוב (בכיוון מאונך לצדו הארוך) לשני חלקים זהים. המשיכו בכך שוב ושוב. הגזירה נעשית קשה יותר ויותר כי גודלם של החלקים נעשה קטן יותר ויותר. נניח שאין שום מגבלה על מספר הגזירות, כלומר אנו מסוגלים לגזור גם פיסת נייר זעירה שוב ושוב עד בלי סוף. תוך כמה גזירות יהיה אורכו של הנייר בממדי אטום?

 

כדי לחסוך זמן חיפוש בוויקיפדיה להלן הנתונים הדרושים:

עובי נייר רגיל ­­– 0.1 מילימטר.

ממדי דף 4A הם 297 על 210 מילימטר.

רדיוס אטום של מימן הוא כ- 50 מיליארדיות המילימטר (מיליארדית =1 לחלק למיליארד).

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

המרחק הממוצע בין כדור הארץ לשמש הוא כ- 150 מיליון קילומטר.

 

פתרון:

(א) גובה ערימת הנייר מוכפל פי 2 בכל קיפול. הגובה לאחר קיפול אחד הוא 0.1 מילימטר כפול 2, לאחר 2 קיפולים – 0.1 מילימטר כפול 2 בחזקת 2 ולאחר 3 קיפולים – 0.1 מילימטר כפול 2 בחזקת 3. המסקנה היא שהגובה לאחר X קיפולים הוא (0.1 מילימטר) כפול (2 בחזקת X).

מכאן שהגובה לאחר 50 קיפולים הוא (0.1 מילימטר) כפול (2 בחזקת 50) כלומר 112,589,990 קילומטר. גובה זה מהווה 75% מהמרחק בין כדור הארץ לשמש. קיפול אחד נוסף, הקיפול ה- 51, מביא לגובה ערימה גדול יותר מהמרחק בין כדור הארץ לשמש.

לכן התשובה הנכונה היא מס' (3).

אגב, כדי להגיע לגובה הירח מספיקים 42 קיפולים.

(ב) ממדי דף 4A הם 297 על 210 מילימטר. לאחר הגזירה הראשונה במאונך לצד הארוך מקבלים דפים שממדיהם 210 על 148.5 מילימטר. לאחר הגזירה השנייה במאונך לצד הארוך מקבלים דפים שממדיהם 148.5 על 105 מילימטר. לאחר הגזירה השלישית במאונך לצד הארוך מקבלים דפים שממדיהם 105 על 74.25 מילימטר. לאחר הגזירה הרביעית במאונך לצד הארוך מקבלים דפים שממדיהם 74.25 על 52.5 מילימטר וכן הלאה. ניתן להבחין שכל 2 גזירות רצופות מקטינות פי 2 הן את האורך והן את הרוחב. פירוש הדבר שכל גזירה בודדת מקטינה את הצד הארוך פי (שורש 2). לכן אורך הנייר לאחר X גזירות הוא 297 מילימטר לחלק ל- [(שורש 2) בחזקת X].

מכאן מקבלים:

האורך לאחר 64 גזירות הוא 297 מילימטר לחלק ל- [(שורש 2) בחזקת 64], כלומר 69.1 מיליארדיות המילימטר.

האורך לאחר 65 גזירות הוא 297 מילימטר לחלק ל- [(שורש 2) בחזקת 65], כלומר 48.9 מיליארדיות המילימטר.

המסקנה: לאחר 65 גזירות יהיה אורכו של הנייר בממדי אטום מימן.

 

למעוניינים בהרחבה

מטרת החידה היא להדגים מושג שאנו נתקלים בו בחיי היום יום והוא "גידול מעריכי", או שמות חלופיים שלו כגון גידול אקספוננציאלי (exponential growth), גידול בטור גאומטרי וכדומה. השמות האלה מייצגים קצב גידול שהולך ונעשה תלול יותר ויותר משום שהוא גדל בהכפלות. כאשר מניחים דפים זה על זה גדל גובה ערימת הנייר באופן לינארי, כלומר הגובה גדל בצורה קבועה עם העלייה במספר הדפים. לעומת זאת, כאשר מקפלים את הנייר, הגובה גדל בצורה מוכפלת עם העלייה במספר הקיפולים וזהו גידול באופן מעריכי.

מבחינה אינטואיטיבית קשה לעיתים לתפוס את הקצב המהיר של גידול מעריכי. דוגמה לכך ניתנת באגדה המספרת על מלך שהציע לממציא השחמט לבחור פרס כגמול על המצאתו. הממציא ביקש גרגר חיטה אחד עבור המשבצת הראשונה בלוח השחמט, 2 גרגרים עבור המשבצת השנייה, 4 גרגרים עבור השלישית, 8 גרגרים עבור הרביעית וכך הלאה עד המשבצת ה- 64. המלך הופתע מהבקשה הצנועה אך עד מהרה התברר שמלאי התבואה בכל הממלכה לא הספיק למלא את משאלתו של הממציא, משום שמספר גרגרי החיטה הדרוש לכך היה גדול מ- 18 מיליארד מיליארדים.

דוגמאות בטבע לגידול מעריכי: התרבות אוכלוסיית חיידקים, עליית מספר הנייטרונים בתגובת שרשרת גרעינית, צמיחת סכום כסף בתנאים של ריבית דריבית.

בחלק ב' של החידה מודגם מושג דומה והוא "דעיכה מעריכית" (exponential decay). במקרה זה בכל מרווח קבוע הגודל יורד פי ערך קבוע. במקרה שלנו אורך הנייר הולך וקטן פי (שורש 2) בכל גזירה שלו. דוגמאות לדעיכה מעריכית: כמות חומר שמתפרק רדיואקטיבית, ערך כספי שנשחק לאורך זמן, ירידת הלחץ האטמוספרי עם העלייה בגובה הטיסה.

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. סידרת לי את משמרת הלילה
    סידרת לי את משמרת הלילה פברואר 13 2020, 06:12
    רק לקרוא לקח חצי שעה

    לא שעמם לי למרות שיש כאן הרבה פרטים וחלקם אני שומע בפעם הראשונה

    השב לתגובה
  2. סרגי
    סרגי פברואר 16 2020, 16:08
    למדתי מושג חדש

    עוד הערב אני מהמם את החברים בפאב
    גידול מעריכי

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בחידות

יתר המאמרים במדור