JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (13)

זיהוי מטבעות מזויפים

חידות חשיבה (13) ד"ר יצחק קאופמן
ספטמבר 11
09:30 2017

החידה:

(א) ברשותנו 23 מטבעות שנראים זהים אך אחד מהם מזויף וקל יותר. איך נמצא את המטבע המזויף באמצעות 3 שקילות במאזני כפות? האם מספר השקילות הדרושות משתנה אם במקום 23 יש 26 מטבעות? 28 מטבעות?

(ב) ברשותנו 11 תיבות שבכל אחת מהן 1000 מטבעות. ידוע שבאחת התיבות כל המטבעות מזויפים ובשאר התיבות כל המטבעות מקוריים. מטבע מקורי שוקל 2 גרם ומטבע מזויף שוקל 1 גרם. איך נזהה בשקילה בודדת במאזניים דיגיטאליים את התיבה עם המטבעות המזויפים?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

(א) בכל שקילה בוחרים 2 קבוצות עם אותו מספר מטבעות ומניחים כל אחת על כף אחרת. אם הכפות לא מאוזנות אזי המטבע המזויף נמצא בקבוצה הקלה יותר (זו שלמעלה). אם הכפות מאוזנות אזי המטבע המזויף חייב להיות בין המטבעות שלא הונחו על הכפות.

(ב) צריך ליצור מצב שבו שקילה של קבוצת מטבעות שהוצאו מהתיבות תזהה בוודאות את  התיבה המבוקשת.

 

פתרון:

(א) הפתרון מבוסס על התהליך הבא שנכנה בשם "טיפול". בכל פעם שמזהים קבוצה שבה נמצא המטבע המזויף, "מטפלים" בה באופן הבא:

  1. מחלקים את כל המטבעות בה ל- 3 קבוצות עם אותו מספר מטבעות או קרוב ככל האפשר לכך, כלומר 2 קבוצות עם אותו מספר מטבעות וקבוצה שלישית שנבדלת מהן במטבע אחד. חלוקה כזו היא תמיד אפשרית.
  2. בוחרים 2 קבוצות עם אותו מספר מטבעות ומניחים כל אחת על כף אחרת. אם אחת הקבוצות קלה יותר אזי המטבע המזויף נמצא בה וממשיכים לטפל בה. אם 2 הקבוצות הן שוות משקל אזי המטבע המזויף חייב להיות בקבוצה השלישית (זו שלא הונחה על המאזניים) וממשיכים לטפל בה.

כך ממשיכים בחלוקה ל- 3 קבוצות ובשקילות עד למציאת המטבע המזויף.

במקרה המתואר בחידה, שבו יש קבוצה התחלתית של 23 מטבעות, צריך להפעיל את התהליך 3 פעמים ולכן דרושות 3 שקילות.

בשלב הראשון מחלקים את 23 המטבעות ל- 7,8,8 ושוקלים 8 לעומת 8.

בשלב השני מחלקים את 8 (או 7) המטבעות בקבוצה שנבחרה ל- 2,3,3 (או 2,2,3) ושוקלים 3 לעומת 3 (או 2 לעומת 2).

בשלב השלישי מחלקים את 3 (או 2) המטבעות בקבוצה שנבחרה ל- 1,1,1 (או 0,1,1) ושוקלים 1 לעומת 1.

 

גם במקרה שבקבוצה ההתחלתית יש 26 מטבעות צריך להפעיל את התהליך 3 פעמים ולכן דרושות 3 שקילות.

בשלב הראשון מחלקים את 26 המטבעות ל- 8,9,9 ושוקלים 9 לעומת 9.

בשלב השני מחלקים את 9 (או 8) המטבעות בקבוצה שנבחרה ל- 3,3,3 (או 2,3,3) ושוקלים 3 לעומת 3.

בשלב השלישי מחלקים את 3 (או 2) המטבעות בקבוצה שנבחרה ל- 1,1,1 (או 0,1,1) ושוקלים 1 לעומת 1.

 

אבל במקרה שבקבוצה ההתחלתית יש 28 מטבעות, ייתכן שצריך להפעיל את התהליך 4 פעמים ואז נדרשות 4 שקילות.

בשלב הראשון מחלקים את 28 המטבעות ל- 10,9,9 ושוקלים 9 לעומת 9.

בשלב השני מחלקים את 10 (או 9) המטבעות בקבוצה שנבחרה ל- 4,3,3 (או 3,3,3) ושוקלים 3 לעומת 3.

בשלב השלישי מחלקים את 4 (או 3) המטבעות בקבוצה שנבחרה ל- 2,1,1 (או 1,1,1) ושוקלים 1 לעומת 1.

אם הקבוצה שנבחרה היא של 2 מטבעות נזקקים לשקילה רביעית והיא של 1 לעומת 1.

ניתן לומר כי שקילה אחת מבטיחה את מציאת המטבע המזויף מבין 1-3 מטבעות, 2 שקילות מבטיחות את מציאת המטבע המזויף מבין 4-9 מטבעות, 3 שקילות מבטיחות את מציאת המטבע המזויף מבין 10-27 מטבעות, 4 שקילות מבטיחות את מציאת המטבע המזויף מבין 28-81 מטבעות. מי שכבר שם לב לכך שהגבול העליון של הקבוצה הוא חזקה הולכת וגדלה של המספר 3 (כלומר 3, 3 בריבוע, 3 בשלישית וכו') יוכל להסיק ש- 5 שקילות מבטיחות את מציאת המטבע המזויף מבין 82-243 מטבעות, וכן הלאה.

(ב) נרשום על 11 התיבות את המספרים מ- 0 עד 10. מתיבה מס' 0 לא נוציא שום מטבע, מתיבה מס' 1 נוציא מטבע אחד, מתיבה מס' 2 נוציא 2 מטבעות, מתיבה מס' 3 נוציא 3 מטבעות וכך הלאה עד לתיבה מס' 10 שממנה נוציא 10 מטבעות. נניח את כל 55 המטבעות שהוצאו על המאזניים הדיגיטאליים. אם נקבל משקל של 110 גרם, נדע שכל 55 המטבעות שהוצאנו מתיבות 1 עד 10 הם מקוריים והמסקנה תהיה שתיבה מס' 0 היא זו שבה המטבעות המזויפים. אם נקבל משקל נמוך מ- 110 גרם, נדע שלא כל 55 המטבעות הם מקוריים. היות שמטבע מזויף קל ב- 1 גרם ממטבע מקורי, הרי שלפי גודל ההפרש מתחת ל- 110 גרם, נדע כמה מטבעות הם מזויפים ומתוך כך נדע מאיזה תיבה הם נלקחו. לדוגמה, אם יתקבל משקל של 107 גרם, כלומר 3 גרם פחות מ- 110 גרם, נדע שמספר המטבעות המזויפים הוא 3 והתיבה שמכילה אותם היא תיבה מס' 3. אם יתקבל משקל של 103 גרם, כלומר 7 גרם פחות מ- 110 גרם, נדע שמספר המטבעות המזויפים הוא 7 והתיבה שמכילה אותם היא תיבה מס' 7.

*

לאחרונה יצא לאור ספר חידות של ד"ר יצחק קאופמן ושמו ״חידות.קום״
הספר מוצג וניתן לרכישה כספר מודפס או בגירסה דיגיטאלית באתר ״מנדלי מוכר ספרים ברשת״.

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

3 תגובות

  1. סימה
    סימה ספטמבר 11 2017, 11:42
    שמת לב ליחס בין השאלה לתשובה

    מעיד על המורכבות.

    השב לתגובה
  2. גרשון
    גרשון ספטמבר 13 2017, 14:56
    מצטרף לסימה

    מסכים

    השב לתגובה
  3. יעקב צווילי
    יעקב צווילי ספטמבר 20 2017, 12:26
    פעם ראשונה נתקלתי

    הלכתי גם אחורה
    נהניתי
    חידות עם רעיון מעניין

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בהגיגים

יתר המאמרים במדור