JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (38)

ביקור חוזר בממלכת המספרים

חידות חשיבה (38) ד"ר יצחק קאופמן
ספטמבר 04
19:30 2018

(1) רשמו על דף חמישה מספרים טבעיים (כלומר שלמים חיוביים) כלשהם. המספרים לא חייבים להיות שונים. שימו לב שתמיד יהיו שלושה מתוכם שסכומם מתחלק ב- 3 בלי שארית. הסבירו מדוע.

(2) שני אנשים משתתפים במשחק. כל אחד בתורו רושם מספר שלם. המספר הראשון חייב להיות אחד המספרים מ- 1 עד 10 וכל מספר שנרשם בהמשך חייב להיות גדול מקודמו ב- 1 לפחות ולא יותר מאשר ב- 10. המנצח הוא הראשון שרושם את המספר 40.

האם לדעתכם יכול אחד מהשניים להבטיח את ניצחונו? אם כן, הראו כיצד.

 

רמזים (אם אתם זקוקים להם):

(1) חלקו את חמשת המספרים לקבוצות לפי השארית שמתקבלת כשמחלקים אותם ל- 3.

(2) המנצח יהיה זה שיאלץ את היריב לרשום מספר שממנו ניתן להגיע ל- 40 בתור יחיד. רמז נוסף תוכלו למצוא בפתרון של חידה מס' 12.

 

פתרון:

(1) כל מספר טבעי חייב להשתייך לאחת משלוש הקבוצות הבאות:

א' – מספרים שמתחלקים ב- 3 בלי שארית, כלומר עם שארית 0.

ב' – מספרים שמתחלקים ב- 3 עם שארית 1.

ג' – מספרים שמתחלקים ב- 3 עם שארית 2.

 

נזכיר את הכלל הבא: סכום של כמה מספרים מתחלק ב- 3 בלי שארית רק אם סכום השאריות שלהם מתחלק ב- 3 בלי שארית.

 

כשבוחרים חמישה מספרים טבעיים כלשהם קיימות שתי אפשרויות:

אפשרות I – מבין החמישה יש שלושה (או יותר) באותה קבוצה. אם השלושה הם בקבוצה א' אזי סכום השאריות שלהם הוא 0, אם השלושה הם בקבוצה ב' אזי סכום השאריות שלהם הוא 3 ואם השלושה הם בקבוצה ג' אזי סכום השאריות שלהם הוא 6. על סמך הכלל שרשמנו, הסכום של שלושה מספרים מאותה קבוצה מתחלק ב- 3 בלי שארית.

אפשרות II – מבין החמישה יש פחות משלושה בכל אחת מהקבוצות. במקרה זה יש בהכרח שתי קבוצות שבכל אחת מהן שני מספרים וקבוצה אחת שבה מספר יחיד. אם נבחר עתה שלושה מספרים, אחד מכל קבוצה, אזי סכום השאריות שלהם יהיה 0 ועוד 1 ועוד 2, כלומר 3. על סמך הכלל שרשמנו, הסכום של שלושת המספרים האלה מתחלק ב- 3 בלי שארית.

 

 

(2) נכנה את מי שמשחק ראשון בשם א' ואת מי שמשחק שני בשם ב'.

נראה כי א' יכול להבטיח את ניצחונו. נעשה זאת באמצעות "הליכה אחורה" מהסוף להתחלה.

א' רוצה לרשום 40. הוא יכול לרשום זאת רק אם ב' רשם לפניו מספר כלשהו בין 30 ל- 39.

ב' נאלץ לרשום מספר בין 30 ל- 39 רק אם א' רשם לפניו 29.

א' יכול לרשום 29 רק אם ב' רשם לפניו מספר כלשהו בין 19 ל- 28.

ב' נאלץ לרשום מספר בין 19 ל- 28 רק אם א' רשם לפניו 18.

א' יכול לרשום 18 רק אם ב' רשם לפניו מספר כלשהו בין 8 ל- 17.

ב' נאלץ לרשום מספר בין 8 ל- 17 רק אם א' רשם לפניו 7.

המסקנה היא שהמנצח הוא א'. עליו לרשום בהתחלה את המספר 7 ובהמשך עליו לרשום 18, 29 ולבסוף 40. במילים אחרות, א' מתחיל במספר 7 ולאחר מכן עליו לדאוג לכך שהוא וב' ביחד מגדילים את המספר בקפיצות של 11. זה מבטיח לא' שהוא זה שירשום 40.

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. ל
    ל ספטמבר 05 2018, 12:28
    פתרתי

    יש
    ששש…שששש עם קצת עזרה שלכם

    השב לתגובה
  2. יפעת אשכנזי
    יפעת אשכנזי ספטמבר 08 2018, 19:08
    תודה

    שנה טובה עם הרבה חידות

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בהגיגים

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!