JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה 41

אכילס והצב

חידות חשיבה 41 ד"ר יצחק קאופמן
אוקטובר 22
19:30 2018

אחד הפרדוקסים של הפילוסוף היווני זנון (Zeno) מתאר תחרות ריצה מדומה בין אכילס (גיבור במיתולוגיה היוונית) לבין צב. הצב איטי בהרבה מאכילס ולכן מתחשבים בו ונותנים לו יתרון ("פור") בתחילת התחרות. זנון טען שאכילס לעולם לא ידביק את הצב. הוא הסביר זאת באופן הבא: נניח שאכילס נמצא בנקודה א' על המסלול והצב נמצא לפניו בנקודה ב'. בזמן שאכילס ירוץ במהירות ויגיע לנקודה ב', הצב האיטי יתקדם בינתיים מרחק נוסף עד לנקודה ג' ועדיין יקדים את אכילס. בזמן שאכילס ימשיך וירוץ עד נקודה ג', הצב יתקדם בינתיים לנקודה ד' ועדיין יקדים את אכילס. בזמן שאכילס יגיע לנקודה ד', הצב יתקדם בינתיים לנקודה ה' ועדיין יקדים את אכילס. כך ימשיכו גם השלבים הבאים ובכל פעם שאכילס יגיע לנקודה שבה היה הצב בסוף השלב הקודם, הצב יתקדם בינתיים הלאה. אכילס אמנם ילך ויתקרב אל הצב אך לעולם לא ישיג אותו.

נביא עתה דוגמה מספרית לטיעוניו של זנון. נניח שמהירותו של אכילס היא 5 מטרים לשנייה (מהירותו הממוצעת של השיאן העולמי יוסיין בולט היא 10.4 מטרים לשנייה הן בריצת 100 מטר והן בריצת 200 מטר). נניח שהצב איטי פי 10 מאכילס, כלומר מהירותו היא 0.5 מטר לשנייה (זהו צב זריז במיוחד, אם כי בגן החיות בדבלין בירת אירלנד ראיתי אחד כזה). נניח שהצב מקבל יתרון של 50 מטרים בתחילת התחרות. טיעוניו של זנון מודגמים בטבלה שלמטה. בזמן שאכילס יעבור את 50 המטרים הראשונים ויגיע אל נקודת ההתחלה של הצב, הצב יתקדם בינתיים עוד 5 מטרים ויקדים את אכילס (סוף שלב א' בטבלה). בזמן שאכילס ימשיך ויעבור 5 מטרים נוספים, הצב יתקדם בינתיים עוד 0.5 מטר ויהיה לפני אכילס (סוף שלב ב'). בזמן שאכילס יתקדם עוד 0.5 מטר, הצב יתקדם בינתיים עוד 0.05 מטר ועדיין יקדים את אכילס (סוף שלב ג'). כפי שניתן לראות בטבלה כך ימשיכו גם השלבים הבאים. אכילס אמנם ילך ויתקרב אל הצב אך לעולם לא ישיג אותו.

טבלה: כל המרחקים הם במטרים והמיקומים הם מקו הזינוק.

השלב              מיקום אכילס     מיקום הצב  בכמה מקדים

.                                                             את אכילס

התחלה                  0                 50            50

סוף שלב א'            50               55              5

סוף שלב ב'            55            55.5           0.5

סוף שלב ג'         55.5          55.55          0.05

סוף שלב ד'      55.55        55.555        0.005

סוף שלב ה'   55.555      55.5555       0.0005

וכן הלאה עד אין סוף.

האם צדק זנון בטיעוניו?

 

רמזים (אם אתם זקוקים להם):

בדקו את לוח הזמנים של הריצה.

 

פתרון:

אנחנו מכנים את סיפור אכילס והצב בשם פרדוקס משום שהוא עומד בסתירה לידע המעשי שלנו. על-פי ניסיוננו המציאותי ברור לנו שאכילס ישיג את הצב ואחר כך יקדים אותו (כשם שבשעון מחוג הדקות המהיר משיג ואחר כך מקדים את מחוג השעות האיטי). ננסה להסביר את הסתירה בשני אופנים.

 

ההסבר הראשון הוא באמצעות לוח הזמנים של הריצה.

סוף שלב א' מתרחש 10 שניות מתחילת הריצה.

סוף שלב ב' מתרחש 11 שניות מתחילת הריצה.

סוף שלב ג' מתרחש 11.1 שניות מתחילת הריצה.

סוף שלב ד' מתרחש 11.11 שניות מתחילת הריצה.

סוף שלב ה' מתרחש 11.111 שניות מתחילת הריצה.

וכן הלאה.

ניתן לראות ששלבי הריצה מתייחסים לזמנים שהולכים ומתקרבים ל- 1…11.111 שהם 11 שניות ותשיעית ואין כלל התייחסות לזמנים מאוחרים יותר.

 

ההסבר השני הוא חישוב הזמן שבו אכילס ידביק את הצב על סמך הקשר [מרחק] = [מהירות] כפול [זמן].

נסמן באות T את הזמן שבו אכילס ידביק את הצב.

המרחק של אכילס מקו הזינוק הוא: [ מהירות אכילס ] כפול T, כלומר 5 כפול T.

המרחק של הצב מקו הזינוק הוא: [ 50 מטר יתרון ] פלוס [ מהירות הצב כפול T ],

כלומר 50 פלוס [ 0.5 כפול T ].

מסתבר שמתקבל שוויון בין שני המרחקים כאשר T שווה ל- 11 שניות ותשיעית. המסקנה היא שאכילס ידביק את הצב כעבור 11 שניות ותשיעית מתחילת התחרות.

שני ההסברים האלה מראים שסיפור אכילס והצב הוא רק לכאורה פרדוקס. בדרך בה תוארה התחרות אין זה מפתיע שאכילס לא ידביק את הצב. התיאור הגביל את משך התחרות לזמנים קצרים מ- 11 שניות ותשיעית ולמרחקים קצרים מ- 55 מטר וחמש תשיעיות. בזמנים אלה ובמרחקים אלה אכילס אכן לא ידביק את הצב. אבל אם התחרות נמשכת יותר זמן, או למרחק גדול יותר, הפרדוקס נפתר. בדיוק 11 שניות ותשיעית לאחר תחילת הריצה ובמרחק 55 מטר וחמש תשיעיות מקו הזינוק, אכילס ידביק את הצב ומיד לאחר מכן אכילס יקדים את הצב. לדוגמה, בזמן 11 שניות ושמינית אכילס יקדים את הצב ב- 6.25 סנטימטר, בזמן 11 שניות ושתי תשיעיות אכילס יקדים את הצב ב- 0.5 מטר, בזמן 11 שניות ושלוש תשיעיות אכילס יקדים את הצב ב- 1 מטר ובזמן 12 שניות אכילס יקדים את הצב ב- 4 מטר.

הערה: לא כאן המקום לניתוח מתמטי ופילוסופי של הפרדוקס. נציין רק כי הידע המתמטי בתקופתו של זנון (המאה החמישית לפני הספירה), הצדיק את מסקנתו שאם הזמן שנדרש לאכילס כדי להדביק את הצב הוא סכום של אינסוף פרקי זמן, הרי שהזמן הזה חייב להיות אינסופי ופירוש הדבר שאכילס לא ידביק לעולם את הצב. רק במאות השנים האחרונות, עם התפתחות החשבון האינפיניטסימאלי, התפתח המושג "טור אינסופי מתכנס" והסתבר שישנם מקרים בהם סכום של אינסוף מחוברים יכול בכל זאת להיות סופי. במקרה שתואר כאן הסכום של אינסוף פרקי הזמן מתכנס למספר סופי שהוא 11 שניות ותשיעית, והסכום של אינסוף המרחקים מתכנס למספר סופי שהוא 55 מטר וחמש תשיעיות.

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. לא יודעת למה
    לא יודעת למה אוקטובר 23 2018, 11:37
    הפעם הסתבכתי

    בלי הפתרון ששמתם לא הייתי יודעת לפתור
    כעת זה ברור לי
    נרגעתי

    השב לתגובה
    • שין
      שין אוקטובר 27 2018, 01:43
      אני דוקא חושבת שזה ברמה הרגילה

      לא קל מידי אבל ברוב המקרים אפשר לפתור עם קצת רמזים

      השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בהגיגים

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!