JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (43)

תאורה באולם חתונות

חידות חשיבה (43) ד"ר יצחק קאופמן
נובמבר 05
19:30 2018

באולם חתונות יש 50 נורות. בחדר סמוך יש 50 מתגים ממוספרים, מתג לכל נורה. כל לחיצה על מתג משנה את מצבו מ – OFF ל – ON ולהיפך. בתחילת הערב היו כל המתגים במצב OFF, כלומר כל הנורות היו כבויות. לחדר המתגים נכנסו 50 אנשים בזה אחר זה. הראשון לחץ על כל המתגים. השני לחץ על כל מתג שני (2, 4, 6 וכו'). השלישי לחץ על כל מתג שלישי (3, 6, 9 וכו') וכך הלאה עד לאיש האחרון שלחץ רק על מתג 50. כמה נורות היו כבויות לאחר שהאיש האחרון יצא מהחדר?

 

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

איש מס' 3 לחץ על כל המתגים שמספרם מתחלק ב- 3 ואיש מס' 12 לחץ על כל המתגים שמספרם מתחלק ב- 12.

 

 

פתרון:

המצב ההתחלתי של הנורות היה כבוי ולכן כדי שנורה תהיה כבויה בסוף התהליך צריכים ללחוץ על המתג שלה מספר זוגי של פעמים.

איש מס' 1 לחץ על כל המתגים.

איש מס' 2 לחץ על המתגים 2, 4, 6, 8 וכו', כלומר על כל המתגים שמספרם מתחלק ב- 2.

איש מס' 3 לחץ על המתגים 3, 6, 9, 12 וכו', כלומר על כל המתגים שמספרם מתחלק ב- 3.

נבדוק, למשל, מי לחץ על מתג 8:

איש מס' 1 (כי הוא לחץ על כל המתגים).

איש מס' 2 (כי 8 מתחלק ב- 2).

איש מס' 4 (כי 8 מתחלק ב- 4).

איש מס' 8 (כי 8 מתחלק ב- 8).

המסקנה היא שעל מתג 8 לחצו רק האנשים 1, 2, 4 ו- 8 שהם כל המחלקים של 8. במקרה זה מספר המחלקים הוא זוגי ולכן מתג 8 נלחץ מספר זוגי של פעמים ובסוף התהליך נורה 8 היתה ב- OFF.

 

נבדוק עתה מי לחץ על מתג 9:

איש מס' 1 (כי הוא לחץ על כל המתגים).

איש מס' 3 (כי 9 מתחלק ב- 3).

איש מס' 9 (כי 9 מתחלק ב- 9).

המסקנה היא שעל מתג 9 לחצו רק האנשים 1, 3 ו- 9 שהם כל המחלקים של 9. במקרה זה מספר המחלקים הוא אי-זוגי ולכן מתג 9 נלחץ מספר אי-זוגי של פעמים ובסוף התהליך נורה 9 היתה ב- ON.

 

כאשר בודקים את כל המספרים מ- 1 עד 50, מגלים שרק למיעוטם יש מספר אי-זוגי של מחלקים. אלה הם המספרים שמהווים ריבוע של מספר שלם, כלומר 1, 4, 9, 16, 25, 36 ו- 49, בסך הכול שבעה מספרים. לכן, בסוף התהליך דלקו רק שבע מהנורות.

הפתרון הוא, אפוא, שלאחר שהאיש האחרון יצא מהחדר היו 43 מהנורות כבויות.

 

למעוניינים בהעמקה:

מדוע יש לרוב המספרים השלמים מספר זוגי של מחלקים? הסיבה היא שהמחלקים מסודרים בזוגות. לכל מספר שלם (פרט ל- 1) יש קודם כל שני מחלקים – המספר 1 והמספר עצמו. זהו הזוג הראשון. נדגים זאת, למשל, על המספר 18 שיש לו שישה מחלקים שמסודרים בשלושה זוגות. הזוג הראשון הם, כאמור, 1 ו- 18. קיימים שני זוגות נוספים – 2 ו- 9 (שמכפלתם 18) וגם 3 ו- 6 (שמכפלתם 18).

יוצאים מן הכלל הם הריבועים של מספרים שלמים שלהם יש מספר אי-זוגי של מחלקים. זאת משום שאחד מהזוגות שלהם הוא "זוג תאומים", כלומר זוג שמורכב משני מספרים זהים. נדגים זאת, למשל, על המספר 36 שיש לו תשעה מחלקים שמסודרים בארבעה זוגות "רגילים" ובנוסף זוג תאומים שמורכב משני מספרים זהים. הזוג הראשון הם, כאמור, 1 ו- 36. קיימים שלושה זוגות רגילים נוספים – 2 ו- 18 (שמכפלתם 36), וגם 3 ו- 12 (שמכפלתם 36) וגם 4 ו- 9 (שמכפלתם 36). הזוג הנוסף הוא זוג התאומים 6 ו- 6. פירוש הדבר שאחד מזוגות המחלקים "מתנוון" למחלק יחיד וכך מתקבל מספר אי-זוגי של מחלקים.

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

דוקטור בפיסיקה שעוסק במחקר. מחבר הספר "חידות.קום" שנמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. אלמוג
    אלמוג נובמבר 05 2018, 19:39
    מה שיפה בסדרה

    כל פעם המחשבה בכיוון אחר

    השב לתגובה
  2. יונית צביאלי
    יונית צביאלי נובמבר 10 2018, 11:29
    רוצה לעשות לייק

    איך עושים?

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

שדות חובה מסומנים *

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בהגיגים

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!