JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (45)

סיכוי מקסימלי

חידות חשיבה (45) ד"ר יצחק קאופמן
דצמבר 10
19:30 2018

בערב משחקי חשיבה מונחות על השולחן 100 גולות צהובות ו- 100 גולות כחולות. המנחה מכניס את כולן ל- 2 קופסאות ומכסה את הקופסאות. הוא מבקש מהעוזר שלו להיכנס לחדר, לבחור באופן אקראי אחת מהקופסאות ולהוציא ממנה גולה אחת מבלי להציץ לתוכה.

איך צריך המנחה לחלק את הגולות בין הקופסאות כדי שהסיכוי לכך שהעוזר יוציא גולה כחולה יהיה מקסימלי?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

אפשר להגדיל את הסיכוי לקבל גולה כחולה מאחת הקופסאות ל- 100%, מבלי להקטין בהרבה את הסיכוי לקבל גולה כחולה מהקופסה השנייה.

 

פתרון:

לשם הבהירות נעבור מהמושג "סיכוי" למושג "הסתברות". כידוע, סיכוי של 0% שקול להסתברות 0, סיכוי של 50% שקול להסתברות של 0.5, סיכוי של 100% שקול להסתברות 1 וכו'.

 

הוצאת הגולה על ידי העוזר מורכבת מ – 2 שלבים:

(1) בחירה אקראית של הקופסה;

(2) בחירה אקראית של גולה מהקופסה שנבחרה.

 

נכנה את הקופסאות א' וב'.

נסמן באות P את ההסתברות (Probability) לקבל גולה כחולה בתום 2 השלבים. המנחה מעוניין ש – P תהיה מקסימלית.

נשתמש בשלושה משפטים שההסבר להם מובא בסיום.

משפט 1: תרומת א' ל- P היא ההסתברות לבחור את א' כפול ההסתברות להוציא מא' גולה כחולה.

משפט 2: תרומת ב' ל- P היא ההסתברות לבחור את ב' כפול ההסתברות להוציא מב' גולה כחולה.

משפט 3: P שווה לתרומת א' פלוס תרומת ב'.

ההסבר לשלוש הטענות מובא בסיום.

 

בשלב (1) ההסתברות לבחור את א' שווה להסתברות לבחור את ב' ולכן בכל מקום נחליף את המילים "ההסתברות לבחור את א' " ו – "ההסתברות לבחור את ב' " במספר 0.5 .

 

נבדוק תחילה מה קורה אם מניחים 100 גולות כחולות בא' ו – 100 גולות צהובות בב'. במקרה זה:

לפי משפט 1, תרומת א' ל – P היא 0.5 כפול 1, כלומר 0.5 .

לפי משפט 2, תרומת ב' ל – P היא 0.5 כפול 0, כלומר 0 .

לפי משפט 3, P שווה ל – 0.5 פלוס 0, כלומר 0.5 .

 

 

ומה קורה אם מניחים 90 גולות כחולות בא' ואת כל שאר 110 הגולות בב'? במקרה זה:

לפי משפט 1, תרומת א' היא 0.5 כפול 1, כלומר 0.5 .

לפי משפט 2, תרומת ב' היא 0.5 כפול (10 חלקי 110), כלומר 0.0454 .

לפי משפט 3, P שווה ל- 0.5 פלוס 0.0454, כלומר 0.5454 .

 

נראה עתה מה קורה אם מניחים 50 גולות כחולות בא' ואת כל שאר 150 הגולות בב'? במקרה זה:

לפי משפט 1, תרומת א' היא 0.5 כפול 1, כלומר 0.5 .

לפי משפט 2, תרומת ב' היא 0.5 כפול (50 חלקי 150), כלומר 0.1667 .

לפי משפט 3, P שווה ל- 0.5 פלוס 0.1667, כלומר 0.6667 .

 

המסקנה היא ברורה: אם מניחים בקופסה אחת רק גולות כחולות, מבטיחים בכך שתרומתה ל- P תהיה של 0.5 . כדי להגדיל ככל האפשר את התרומה של הקופסה השנייה, רצוי שיהיו בה כמה שיותר גולות כחולות. לפיכך, כדי שההסתברות לקבל גולה כחולה תהיה מקסימלית, מספיק להניח בא' גולה כחולה בודדת (ובכך להבטיח תרומה של 0.5 מקופסה זו), ואת כל שאר 99 הגולות הכחולות ו – 100 הגולות הצהובות להניח בארגז ב'. במקרה זה מתקיים:

לפי משפט 1 תרומת א' היא 0.5 כפול 1, כלומר 0.5 .

לפי משפט 2 תרומת ב' היא 0.5 כפול 99 חלקי 199, כלומר 0.2487 .

לפי משפט 3, P שווה ל- 0.5 פלוס 0.2487, כלומר 0.7487 .

 

כלומר, הסיכוי לקבלת גולה כחולה הוא מקסימלי, כמעט 75%, כאשר מניחים בקופסה אחת גולה כחולה אחת ובקופסה השנייה את כל שאר הגולות.

 

למעוניינים בהעמקה – הסבר משפטים 1, 2 ו- 3

בחישובי הסתברויות ישנם שני כללים שימושיים:

א. כאשר צריך לחשב הסתברות להתרחשות של מאורע א' וגם של מאורע ב' כופלים את ההסתברויות שלהם.

ב. כאשר צריך לחשב הסתברות להתרחשות של מאורע א' או של מאורע ב' מחברים את ההסתברויות שלהם.

 

המקרה שבו בוחרים בקופסה מסוימת (מאורע א') ואז מוציאים ממנה גולה כחולה (מאורע ב') היא דוגמה להתרחשות של מאורע א' וגם של מאורע ב'. לכן כופלים את ההסתברויות של שני המאורעות. זה מסביר את משפטים 1 ו- 2.

כאשר צריך לחשב את ההסתברות הכללית מתוך התרומות של א' וב' מקבלים דוגמה להתרחשות של מאורע א' (בחירת קופסה א') או של מאורע ב' (בחירת קופסה ב'). לכן מסכמים את ההסתברויות של שני המאורעות. זה מסביר את משפט 3.

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. רונן גור
    רונן גור דצמבר 13 2018, 06:13
    אם הייתי קורא אחרי החידה את סוף הפתרון

    היה נשמע לי לא הגיוני
    אבל אחרי ההסבר כמובן שמתברר חד משמעי מה זה כך

    השב לתגובה
  2. מיכל לב
    מיכל לב דצמבר 13 2018, 14:46
    חידות חשיבה

    מדהים !

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בהגיגים

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!