JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

חידות חשיבה (53)

כביש חסכוני

חידות חשיבה (53)
מרץ 01
19:30 2019

באחד המחוזות בסין ישנן 4 ערים ששוכנות בקודקודיו של ריבוע שאורך הצלע שלו 100 ק"מ (ראו איור א', בתמונת הכותרת). מהנדסי המחוז התבקשו לתכנן מערכת כבישים שתאפשר להגיע מכל עיר לכל עיר (באופן ישיר או דרך עיר אחרת). האילוצים שהוגדרו להם היו: (א) כל כביש בפני עצמו צריך להיסלל בקו ישר; (ב) כדי לחסוך בהוצאות יש לדאוג לכך שאורך מערכת הכבישים תהיה מינימלית.

תחילה פסלו המהנדסים את שלוש האפשרויות הבאות:

  1. כביש מעגלי שכולל את 4 הערים (וודאו שאורכו 444 ק"מ).
  2. מערכת כבישים בצורת ריבוע שקודקודיו הן 4 הערים (האורך הוא 400 ק"מ).
  3. כמו אפשרות 2 אבל ללא הצלע התחתונה של הריבוע כך שמערכת הכבישים היא בצורת האות ח' (האורך הוא 300 ק"מ).

בסיום הדיון עמד צוות המהנדסים להמליץ על מערכת כבישים בצורת X (וודאו שאורכה 283 ק"מ) אך לפתע טען אחד המהנדסים שעלה בידו לתכנן מערכת שאורכה קטן מ- 275 ק"מ.

האם תוכלו גם אתם למצוא פתרון דומה?

 

רמז (אם אתם זקוקים לו):

קטעי הכביש יוצרים זוויות של 120° בנקודות המפגש שלהם.

 

פתרון:

 

נזכיר שלפי משפט פיתגורס אורך אלכסון הריבוע הוא 141.4 ק"מ.

מערכת הכבישים שאורכה קטן מ- 275 ק"מ מתוארת באיור ב' בתחתית הדף, בקו מלא. מה שמאפיין את המערכת הזו הוא שכל קטעי הכביש יוצרים זוויות של 120° בכל נקודות המפגש שלהם.

החישוב הקצר שלהלן (ניתן לדלג עליו) מראה שאורך מערכת הכבישים המוצעת הוא 273 ק"מ. X שווה לחצי צלע הריבוע, כלומר 50 ק"מ. המשולש שצלעותיו הן X, Y ו- Z הוא משולש ישר-זווית שבו יש זווית של 30° בין X ו- Z. על סמך משפט בגאומטריה, אורך הניצב מול הזווית של 30° שווה למחצית אורכו של היתר, כלומר Y שווה למחצית Z. על סמך זה ועל סמך משפט פיתגורס שלפיו X בריבוע פלוס Y בריבוע שווה ל- Z בריבוע, מקבלים כי Z שווה ל- 100 חלקי (שורש 3) שהם 57.7 ק"מ. ניתן לראות כי S שווה ל- 100 מינוס (2 כפול Y), כלומר S שווה 100 מינוס Z שהם 42.3 ק"מ. האורך הכללי של מערכת הכבישים המוצעת הוא (4 כפול Z) פלוס S, כלומר (4 כפול 57.7) פלוס 42.3. מכאן מקבלים שאורך המערכת הוא 273 ק"מ.

באמצעות חשבון דיפרנציאלי בסיסי ניתן להוכיח שהמערכת שאורכה 273 ק"מ היא בעלת האורך המינימלי, אך לא נעשה זאת כאן.

הערות

(1) הזווית המיוחדת של 120° מופיעה גם כאשר מחפשים אורך מינימלי של מערכת כבישים שמחברת 3, 5 ו- 6 ערים.

(2) הערה על היופי שבטבע. כשלימדתי על מתח הפנים של נוזל בקורס "הפיזיקה של גזים ונוזלים", הדגמתי לסטודנטים את הניסוי הבא: ביקשתי מהעוזר הטכני להכין מתקן פשוט משתי לוחיות פרספקס מקבילות ולחברן זו לזו באמצעות 4 פינים שמיקומיהם היו בקודקודי ריבוע. טבלתי את המתקן במי סבון וכשהוצאתי אותו בזהירות נוצרו בין הלוחיות משטחים (יריעות) של מי סבון שהיו מאונכים ללוחיות. הצורה שיצרו המשטחים היתה זהה לקו המלא באיור ב'. ההסבר לכך הוא שנוזלים שואפים, משיקולי יציבות, להקטין ככל האפשר את האנרגיה החופשית של המשטח שלהם, ולכן הם שואפים להקטין ככל האפשר את פני השטח שלהם. לכן משטחי הסבון בין הלוחיות הסתדרו בצורה שיצרה את המרחק הכללי המינימלי בין ארבעת קודקודי הריבוע. חוקי הפיזיקה הביאו לפתרון החידה ללא צורך בגאומטריה ובחשבון דיפרנציאלי.

 

על המחבר / המחברת

יצחק קאופמן

יצחק קאופמן

עורך מדור: חידות. דוקטור לפיזיקה. היה חוקר בכיר במכון מחקר ממשלתי וכן באוניברסיטאות בארץ ובחו"ל. ספרו "חידות.קום" נמצא באתר "מנדלי מוכר ספרים ברשת".

2 תגובות

  1. סער ברזילי
    סער ברזילי מרץ 04 2019, 08:38
    וואוו

    חידה מדהימה

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בהגיגים

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!