JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

מתי התחילו להשתמש בבסיס העשרוני?

החשבון שבנבכי הלשון (1)

מתי התחילו להשתמש בבסיס העשרוני? פרופסור יהושפט גבעון
יולי 22
09:30 2020

בסדרת מאמרים זו אדון בשפה העברית כדי לחשוף קשר מפתיע בין החשבון הבסיסי ובין השפה העברית, בחלק העוסק בספירה ובמנייה. קשר זה עמוק מסתם רמז והוא מסביר, כפי שאתאר בהמשך, את הכישורים המתמטיים של חז"ל שבאו לידי ביטוי מאות שנים לפני המצאת הסְפרות.

אנו רגילים להתייחס אל ידיעת השפה כנבדלת מידיעת החשבון, כי אנו מזהים את ידיעת השפה עם התבטאות באמצעות מילים ואילו ידיעת החשבון נחשבת כמתחילה מידיעת השימוש בספרות ובסימנים. הסְפרות הומצאו בערך במאה ה-6 לספירה, כלומר בפער זמנים נרחב בין התפתחות השפה והכתב ובין המצאת הסְפרות. אבל אם נבדוק את התפתחות ידיעת השפה אצל ילדים ואת התפתחות הכישורים החשבוניים שלהם, נוכל לגלות ששתי התפתחויות אלה מתחילות ממש במקביל. בחינוך הממוסד שאנו מספקים לילדינו אנו מבדילים בין ידיעת החשבון לידיעת השפה בתחילת הלימודים בבית הספר, מכיתה א' ואפילו עוד בגן.

המסר המועבר במנהג שכזה הוא שאין מתמטיקה ללא שימוש בסימנים המיוחדים לה, כאילו, אין חשבון ללא שימוש בסימנים המיוחדים לחשבון. עיון בתולדות המתמטיקה יחשוף שפרקים חשובים שלה נכתבו שנים רבות לפני גילוי הספרות והשימוש בהן. לעומת זאת, עיון בכמה שפות יגלה, שהמספרים מיוצגים בהן כתופעה לשונית. בשפות רבות יש ביטוי למספרים בלשון עצמה. התופעה הזו התגלתה כבר בשוּמר העתיקה.

ניצני המתמטיקה בשוּמר העתיקה: מושג המספר

בתקשורת חזותית אנו נוהגים לייצג ריבוי של עצמים על ידי חזרה על הצגת עצמים מייצגים במספר המתאים. לעומת זאת, בלשון כמו בשומר העתיקה או כמו בעברית, המספרים עצמם מוצגים באמצעות שמות מספרים המוגדרים בשפה ומופיעים בנבדל מייצוג העצמים הנמנים. לדוגמה, אם נרצה לייצג שני הרים, לא נאמר "הר-הר" (כמו ביפנית) אלא נאמר תחילה "שני" ואחר כך נאמר "הרים". כלומר אנו מציירים שני הרים, אך אומרים, או כותבים, את הביטוי המורכב "שני הרים" – תחילה "שני" ואחר כך "הרים". גישה כזו יושמה בשוּמר העתיקה, אלפי שנה לפני המצאת סימני סְפרות החשבון המיוחדים.

 כמה פרקים מפוארים של המתמטיקה ויישומיה שנכתבו לפני המצאת הספרות:

  • בסביבות 400 לפני הספירה ממציאים תאלס ואויקליד את הגיאומטריה הדדוקטיבית (המבוססת על הוכחות) ומשתמשים בשפת דיאגרמות מיוחדת לניסוח מבוקר של הוכחות. אתם יכולים לקרוא על תפקיד הדיאגרמות בכתביהם בספר "הקודקס של ארכימדס: הסיפור המרתק על כתב-היד המדעי החשוב בעולם" מאת רויאל נץ וויליאם נואל (הוצאת ידיעות ספרים, 2007).
  • בסביבות 300 לפני הספירה מפתחים תלמידי אסכולת הסטואה את הלוגיקה הפסוקית שבסוף המאה ה-19 תשמש לביסוס יסודות המתמטיקה.
  • בשנת 270 לפני הספירה מפרסם דיופנטס מחקר מעמיק של פתרון משוואות המוכרות היום כמשוואות דיופנטיות.
  • בסביבות 200 לפני הספירה מפתח ארכימדס את הפיזיקה המתמטית, מגלה את הקבוצות האינסופיות ומעצב כמה מרעיונות החשבון האינפיניטסימלי.

ואצלנו, במאה ה-3 לספירה, כלומר, 300 שנים לפני המצאת הייצוג הספרתי העשרוני, חז"ל מגבשים את עקרונות הלוח העברי ומגלים אלגוריתמים לפתירת בעיות שונות הקשורות בלוח העברי. מאוחר יותר מתמטיקאים דגולים, כמו אל-ח'וואריזמי וקארל גאוס, חקרו את הלוח העברי כאובייקט מתמטי, כדי לגלות את צפונותיו, את "סוד העיבור".

בניית שמות המספרים בעברית כתהליך הרכבה מיוחד:

שמות המספרים בשפה העברית מתפקדים, בראש ובראשונה, כמו בכל שפה, בתהליך הספירה, זהו תהליך בניית סדרת שמות המספרים. בשפה העברית מתגלה תהליך זה ביצירת ביטויים המורכבים משמות מספרים קודמים בשיטה חישובית מסוימת. אם נעקוב אחרי בניית השמות האלה (ולו רק בשינויים במספר המילים הנדרש להרכבתם) נגלה מחזוריות של 10, של 100 ושל 1000. ואכן, השיטה העשרונית מתגלה בשמות אלה כפי שהם מופיעים בתנ"ך בגרסתו העברית, למרות החופש הפואטי המתגלה בהם. בספר בראשית פרק ה' נמצא עשרות שמות של מספרים שנכתבו, כל אחד, ב"כיוון עולה": "שלושים ומאת שנים", "חמש ומאת שנה", "שבע שנים ושמונה מאות שנה", "שתים עשרה שנה ותשע מאות שנה", ועוד כהנה וכהנה. והנה במקרה אחר, באותו פרק, כאשר מסופר לנו "ויהיו כל-ימי אדם אשר חי", נאמר "תשע מאות ושלושים שנה", כלומר, בכיוון "יורד", בדיוק כפי שאנו נוהגים כיום. גם על שרה אימנו נאמר "ויהיו חיי שרה מאה שנה ועשרים ושבע שנים" (בראשית כ"ג, א').

שתי השיטות העשרוניות הפשוטות האלה באות לידי שימוש במקומות רבים בתנ"ך. העובדה הגלויה היא שהשתמשו בכמה שיטות להרכבת שמות של מספרים, כי אם נעיין בדקדקנות, נמצא אפילו תערובת מפתיעה של שתי השיטות הפשוטות בביטוי אחד, כמו למשל "שְנים וששים אלף ושבע מאות" (במדבר א', ל"ט) או, "ויהיו פיקודיהם, שלושה וארבעים אלף ושבע מאות ושלושים" (במדבר כ"ו, ז').

מתגלה כאן אפוא תופעה מפתיעה המשותפת לכל הביטויים הארכאיים האלה. מאות שנים לפני המצאת הספרות העשרוניות, שיטת ההרכבה של שמות המספרים בעברית, הייתה מבוססת על זיהוי הגדלים המופיעים בסדרות שאורכן מוגדר לפי עקרונות השיטה העשרונית, על מה שנקרא "בסיס העשר". אם תבנו את "טבלת המאה" בשיטה חכמה, תגלו עד כמה משולבת השיטה העשרונית בשמות המספרים שבשפה העברית הקדומה. פרטים על המבנה הלשוני הזה, שניתן להמשיך ולהרחיב אותו לממדים נוספים, יוסברו במאמר הבא.

על המחבר / המחברת

יהושפט (שפי) גבעון

יהושפט (שפי) גבעון

פרופסור. לימודי פיסיקה, פסיכולוגיה ניסויית, ופילוסופיה לתואר ראשון ולימודי מתמטיקה לתואר שני (האונ' העברית). תואר שני ושלישי במדעי התקשורת והמחשבים (אונ' מישיגן).

13 תגובות

  1. יצחק דגני
    יצחק דגני יולי 22 2020, 09:57
    לפרופ' גבעון היקר

    מדהים. הגם שהנני מכיר את הטקסט התנ"כי אף פעם לא חשבתי בכיוון זה. יישר כוח.

    השב לתגובה
    • יהושפט גבעון
      יהושפט גבעון יולי 22 2020, 13:02
      גם אני נדהמתי כשגיליתי את מה שהיה ידוע...

      תודה על תגובתך ועל הערכתך.
      ההמשך של סיפור החשבון שבנבכי הלשון ידהים אותך גם כן (כך אני מקווה).

      השב לתגובה
  2. חני
    חני יולי 22 2020, 19:16
    נחמד אבל מה אפשר ללמוד מזה?

    קדימה?

    השב לתגובה
  3. פועה
    פועה יולי 23 2020, 10:38
    מה שמדליק במאמר

    זה לא הנושא
    זאת הרצינות שאתה מטפל בכל נושא

    השב לתגובה
  4. גיורא קימל
    גיורא קימל יולי 23 2020, 17:36
    אנחנו עשרונים בדם

    מעניין שבעברית המספרים בין 10 ל 20 מבוטאים כמו באנגלית שלוש+עשר=שלושעשר three+ten=threeten->thirteen (באנגלית עגלו קצת את הפינות). אך 30 שזה שלושXעשר או שלושהXעשרה נקרא שלושים ללא הפרדה מגדרית. האם הכפלה בעשר שווה למעבר מיחיד לרבים?
    השיטה העשרונית עובדת בתנ"ך יש לנו עשר מכות מצרים, עשרת הדברות, וים כיפור י' בתשרי. משה הונחה למנות שרי אלפים, מאות, חמישים ועשרות. הכה שאול באלפיו ודוד ברבבותיו. יש גם את היובל שזה חצי מאה. חמישים עדיין נכלל בשיטה העשרונית. יש שטר של 50 ש"ח/יורו/$ וזה לא מפר את השיטה העשרונית בספירת הכסף.
    ביהדות יש לנו את גם את המניין.
    צריך לחיות בארה"ב כדי לחוות שקילות ומדידות לא עשרוניות. מזל שהכסף שם הוא עשרוני. לבריטניה שהורישה לאמריקנים את הבלגן הזה היתה בעבר אותה שיטה איומה למידות ומשקלות ואפילו הכסף לא היה עשרוני. גם בספורט המרחקים היו ביארדים ומיילים ולמה 11 שחקני כדורגל בקבוצה? אולי כדי להיות בטוחים שהם מעל מניין? הם אומנם עברו לספירה עשרונית של הכול אך עדיין חושבים באינץ' פוט, מייל וכד'.

    השב לתגובה
  5. יהושפט גבעון
    יהושפט גבעון יולי 24 2020, 19:12
    לגיורא, תודה על תגובה כה מפורטת

    אתה אמנם מתקשה להבחין בין המספרים לשמות המספרים, ואינך יחיד מבחינה זו. המאמר עסק באופנים שבהם בשפה העברית מוגדרים שמות המספרים.

    האנומליות של שמות המספרים בין "אחת–עשרה" ל"תשע-עשרה" מרמזת שהם נוצרו לפני שאבותינו היו מודעים לשימוש בבסיס העשרוני בשפתנו. בשפה האנגלית אין ביטוי לבסיס העשרוני, ובוודאי לא בתרגומים הראשונים של התנ"ך לאנגלית. אפילו בנאומו המפורסם של לינקולן תמצא עדות להבדל שבין החשבון שבשפה העברית לבין שמות המספרים באנגלית.

    כדאי לחזור ולהדגיש שחשיבות המספר עשר איננה עדות למודעות לבסיס העשרוני, אלא אולי הסבר כיצד נוצר הסיכוי לגלות את השיטה העשרונית. עשר מכות ועשרה דברות אינם עדות לשיטה העשרונית אלא לחיבה מיוחדת למספר עשר שאיננה גדולה בהרבה מהחיבה למספר שבע בתרבותנו.

    השב לתגובה
    • גיורא קימל
      גיורא קימל יולי 25 2020, 22:38
      יש סיבה לחיבה של ספרות מסויימות

      ליהושפט: המספרים החביבים עלינו מגיעים הסמיכות שלהם לנסיון שלנו עם כל מיני תופעות. המספר שבע קשור עם השבוע שזה מספר הימים שדרושים לירח להפוך מחשוך לחצי מואר ומחצי מואר לחשוך. זמן המחזור המלא שהוא בקרוב 4 שבועות נקרא חודש (ירח חדש) או ירח. בערך 12 חודשים זה זמן המחזור של עונות השנה. גם 12 זה מספר מיוחד לאו דוקא ביהדות. 10 זה פשוט מספר האצבעות שלנו שיכולות לעזור בחישובים. והאם יש לך השערה מדוע ל 6 ול 7 יש שמות דומים בשפות השמיות וההודו-אירופאיות?

      השב לתגובה
      • יהושפט גבעון
        יהושפט גבעון יולי 26 2020, 14:29
        לגיורא על חיבה למספרים מסוימים

        את שאלתך יש להפנות אל חוקרים בבלשנות השוואתית. אני בקושי יודע פרטים על השפה העברית…
        ההסברים שלך מעוררים שאלות. מדוע חשוב לייצג את מופעי הירח בהקשר של עונות השנה? אבל לא עסקתי בזה במאמר. אותי עניינה רק בהאלה מתי המציאו את הבסיס העשרוני…

        השב לתגובה
        • יהושפט גבעון
          יהושפט גבעון יולי 26 2020, 19:18
          אותי עניינה רק השאלה מתי המציאו את הבסיס העשרוני

          ותו לא, כדי להראות את הקשר שבין ידיעת השפה העברית וידיעת החשבון.

          במילים אחרות, הנוהג הקיים אצלנו, כדוברי השפה העברית, להפריד את החשבון מהלשון, כאילו היו שני נושאים נפרדים, איננו מוצדק לחלוטין. האחדת שני הנושאים האלה תתנגש בעובדה שילדינו אינם משתלטים על החשבון כפי שהם משתלטים על ידיעת השפה. התנגשות זו צריכה להדליק נורה אדומה בקרב במתעניינים בהוראת החשבון לילדינו, בין אם מדובר באנשי חינוך ובין אם מדובר בהורים החפצים להשכיל את ילדיהם גם בבית.

          השב לתגובה
      • יהושפט גבעון
        יהושפט גבעון יולי 30 2020, 10:03
        ובאנגלית הארכאית עד לימי לינקולן

        הייתה חיבה רבה למספר עשרים שנקרא בה "score". זה לא הביא אותם לפיתוח שמות המספרים באנגלית על בסיס עשרים.
        גם השימוש ב"תריסר' באנגלית ובעברית (בעיקר בשפת העסקים) לא פותח לבסיס תריסריוני.
        אבותינו יכלו לפתח מערכת שמות על בסיס חמש באותה קלות שבה פותחה המערכת העשרונית. והם לא עשו זאת. גם לא מערכת תריסריונית. הם בחרו בבסיס עשר מסיבה שכק נוכל לנחש אותה אך לא לאשש אותה.

        השב לתגובה
  6. מ.
    מ. יולי 25 2020, 11:39
    אני ממש שמח שכאשר כל העולם רועד

    יש מישהו שכותב על דברים כאלה, ויש מי שקוראים, ואפילו מי שמגיבים

    השב לתגובה
  7. אברהם פנחסי
    אברהם פנחסי יולי 26 2020, 12:08
    אין שפות ותרבויות שזה על בסיס 12

    ?

    השב לתגובה
  8. יהושפט גבעון
    יהושפט גבעון יולי 27 2020, 20:39
    אז מה?

    עד כמה שאני זוכר מדברי פיינמן, המאיה השתמשו בשיטת סימון מספרים על בסיס 20. אין לי מושג האם בשפתם היה לזה ביטוי.

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בהגיגים

יתר המאמרים במדור