JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

האם מספר זה סימן?

מה אנו יודעים על סימנים?

האם מספר זה סימן? פרופסור יהושפט גבעון
אוקטובר 22
19:30 2020

שוב ושוב אני נתקל באנשי חינוך והוראה שמאמינים שמספרים הם סימנים, ואני מתקשה לשכנע אותם שמדובר בישויות מסוגים שונים ונבדלים. בכמה מאמרים קודמים ניסיתי לשכנע את הקוראים שזיהוי מספר עם הסימן שמייצג אותו הוא שגוי לחלוטין, ועדיין אני מתקשה לשכנע אתכם שהמספר אפס אינו יכול להיות זהה לספרה '0'. קראו כמה מתגובות הקוראים למאמרים הקודמים שבהם הסוגיה הזו נדונה ותיווכחו עד כמה הזיהוי הזה נפוץ בקרב חוגים רבים.

אם מספר הוא סימן אז סימנים שונים הם מספרים שונים. נחזור אל סימני האפס הנהוגים בשפתנו כיום. הנה, המלה 'אפס' מסמנת את האפס, אבל גם הסימן '0' מסמן אותה ישות. אפשר לשאול: כיצד יודעים אנו מתי שני סימנים שונים מסמנים אותה ישות? למשל מתי הביטוי '1-1' והביטוי '2-2' מסמנים אותה ישות? ואפשר לשאול שאלות מורכבות יותר ולנצל את מכמני שפת החשבון כדי להצביע על שני סימנים מורכבים שמסמנים אותה ישות. לאמיתו של דבר, אפשר להגדיר את החשבון כמקור האמצעים והשיטות שמאפשרים לנו לקבוע מתי שני סימונים חשבוניים מסמנים אותה ישות. אנו עושים זאת בכל משימה חשבונית מבלי לדעת בעצם שעל זה בדיוק אנו מדברים. עלינו רק לשלוט בכללי החשבון המאפשרים לנו לשנות סימונים מבלי שתוכנם הטמיר והנעלם ישתנה. אפשר להגדיר את החשבון כתורת השינויים המבוצעים על סימונים מבלי לשנות את זהות המסומנים.

אם מספר הוא סימן אז במה עוסק החשבון? אם '3' הוא סימן שמסמן את המספר שלוש, איך אנו יודעים את מה הוא מסמן? אז לא פתרנו מאומה ולא הגדרנו מאומה בהצהרה שמספר הוא סימן, אלא אם נגדיר גם את מה הוא מסמן. נהוג להצהיר שהוא מסמן כמות. אז מה זאת כמות? מספר, כמובן. אז מה הגדרנו?

ייתכן מאוד שכאשר מתחילים ללמוד את החשבון אין ברירה אלא להאמין שהכמות הנספרת או הנמנית מוצגת ממש בסימון שלה. מציגים לילד את הספרה '3' בפעם הראשונה (בפעילות למידה, כי במציאות הסימן הזה הוצג בפניו אלפי פעמים קודם לכן) וקוראים בקול "שלוש" ולא מבלבלים את הילד בניסיונות כושלים להגדיר מה זה שלוש. כך אנו עושים בהצגת בני אדם, אם במרחב הפיזיקלי ואם בתמונות: "הנה אמא!".

במקום לפתור את הקושי בזיהוי ישיר של מהות הכמויות באמצעות הצהרות לא מדויקות, צריך לפתח את יכולת הילד בהפעלת פעולות על סימונים מורכבים, בתשומת לב הולכת וגדלה לכך שהפעולות המתבצעות אינן משנות את המסומנים והן מושא ההתעניינות הראוי. אלו הן פעולות שינוי בעלות "גרעין" של שמוּרוֹת (אינוואריאנטות) שאינן משתנות.

אז מהו המספר אפס? אפשר לטעון שהוא כלל התהליכים על סימונים אפשריים שיכולים לסמן את האפס. זאת קבוצה גדולה מאוד של "תרגילים על תרגילים", וצריך לפתח את הגישה אל קבוצה זו בהדרגה. ילדים קטנים אוהבים להתמודד עם משימת פיתוח זו ביחס לסימונים פשוטים מאוד. קיימים משחקים מרתקים המנצלים את התשוקה הטבעית של הילדים לחפש נעלמים (פני אמא, מחבואים ועוד) והעוזרים לפתח את יכולת ההתמודדות עם הכרת הקבוצה הזאת. מי שמצליח, מבטיח את כניסתו אל עולם המדע ויישומיו.

המתמטיקאים ניסו למצוא לקבוצה זו בסיס פשוט יחסית ואכן הוא נמצא. למתמטיקאים יש ניסיון מוצלח ופורה בגילוי בסיסים לתחומי ידע הממוקדים בתהליכי שינוי עם שמוּרוֹת. במקרים רבים, לפרטים המגדירים בסיסים כאלה קוראים "אקסיומות". עיינו באקסיומות של הגיאומטריה. מושגי הנקודה והקו אינם מוגדרים כמונחים בשפת הגיאומטריה, אלא כישויות המתוארות והמאופיינות באקסיומות.

בעקבות דיונים של כמה מתמטיקאים (גרסמן, פירס, דדקינד וקרונקר) במהות מושג המספר בשנת 1869 פרסם פיאנו אקסיומות שנוסחו כדי לאפיין את יסודות החשבון באמצעות תכונות של פעולה אחת על המספרים הטבעיים, שניתן לייצגה כפעולה פשוטה על סדרה של שמות מייצגים למספרים אלה. זאת פעולת העוקב, שממנה ניתן להגדיר את כל פעולות החשבון, בלי יוצא מן הכלל. קרונקר הוא שהכריז באותם ימים כי "אלוהים יצר את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה האדם". ואכן חיש מהרה גילו המתמטיקאים שכל המתמטיקה נובעת מיסודות החשבון.

תגלית זאת מצביעה על משקל האחריות של למידה נכונה והוראה מתאימה של יסודות החשבון, כי בצעדים הראשונים בחשבון מסתתרת המתמטיקה כולה ואפשר לגלות בעזרתם גם את יסודות מדעי המחשב. לכן השיקולים האלה, המתוארים במאמרים על נבכי החשבון, אף שאינם מתייחסים במפורש אל חוויית הקניות במכולת, הם בעלי חשיבות מעשית עילאית.

על המחבר / המחברת

יהושפט (שפי) גבעון

יהושפט (שפי) גבעון

פרופסור. לימודי פיסיקה, פסיכולוגיה ניסויית, ופילוסופיה לתואר ראשון ולימודי מתמטיקה לתואר שני (האונ' העברית). תואר שני ושלישי במדעי התקשורת והמחשבים (אונ' מישיגן).

5 תגובות

  1. מאיר ש.
    מאיר ש. אוקטובר 23 2020, 18:35
    מעניין לקרוא

    קשה להבין.

    השב לתגובה
  2. פה טוביאס
    פה טוביאס אוקטובר 24 2020, 11:50
    אשמח לקבל דוגמא כיצד האבחנה בין

    מספר לסימן עוזרת למשהו בחיי המדע או בחיי היום יום

    השב לתגובה
    • יהושפט גבעון
      יהושפט גבעון אוקטובר 27 2020, 10:20
      דוגמאות

      תודה על תגובתך. היא ראויה לתשובה.

      אינני יודע מה הם חיי המדע, אז אניח שהכוונה ל"קידום המדע" או למדע עצמו. ואסתפק בהתייחסות אל המדעים שמשתמשים במתמטיקה ובלוגיקה. איך אפשר להשתמש במתמטיקה ובלוגיקה ובטענה שקרית? התוצאה תהיה כאוס מחשבתי כי טענה שקרית מובילה לוגית לכל מסקנה. ולגבי אלה שאינם משתמשים במתמטיקה או בלוגיקה, שישתמשו.

      לגבי חיי היומיום, האם חינוך ילדינו הוא חלק מחיי היומיום? אם כן, אז הדאגה שלא לכלול בו בלבול שמונע מילדינו את הבנת החשבון היא דאגה שעוזרת להם מאד. על זה נכתבה הפסקה האחרונה במאמר. המציאות מוכיחה שמשהו פגום מאד בחינוך להבנת החשבון. חינוך פגום בחשבון מונע רבים מילדינו להיות מתמטיקאים או מדענים.

      השב לתגובה
  3. סיוון ארבל
    סיוון ארבל אוקטובר 27 2020, 17:28
    מאמרים אינטליגנטים למחשבה

    היום הצעירים כולל סטודנטים באוניברסיטאות לא יודעים לחשוב ולא יודאים להתבטא.טוב שאתם מעלים מאמרים כאלה גם אם אין להם תועלת מידית.

    השב לתגובה
  4. גיורא קימל
    גיורא קימל נובמבר 16 2020, 04:17
    מהות המספרים

    כשניסיתי להסביר לביתי בגיל הגן איך לקשר את האפס עם פעולת החיסור אמרתי לה שהתוצאה של כל דבר פחות אותודבר היא אפס. ואז בחנתי אותה אם היא תפסה את הרעיון. שאלתי אותה מה התוצאה של חמש פחות חמש והיא ענתה: אפס. שולחן פחות שולחן? היא אמרה: אפס שולחנות. איכס פחות איכס? התשובה שלה הייתה: מה זה איכס?
    ושאלו אנאלפביתית כמה זה 25 ועוד 25 והיא ענתה: חצי שקל.

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בהגיגים

יתר המאמרים במדור