JOKOPOST | עיתון המאמרים והבלוגים המוביל בישראל

facebook twitter linkedin

הגיאומטריה של הצב

חידת המתמטיקה שהסעירה את הרשת

הגיאומטריה של הצב תמונה:Selena Wilke commons.wikimedia.org
נובמבר 14
09:33 2015

החידה

לפני ימים אחדים נדרשו נבחנים במתמטיקה באוסטרליה לפתור את השאלה הבאה: קחו שני מטבעות של 50 סנטים והניחו אותם על השולחן כך שהם משיקים בצלע לקו אופקי באותו גובה, וזה לזה בצלע אחת (ראו בציור).

שפי 1

על הנבחנים היה למצוא את גודל הזווית המסומנת מבין אחת התשובות: א) 120; ב) 300; ג) 360; ד) 600; ה) 720.

רבים התלוננו וזעקו ברשת על כך שלא התכוננו במהלך הלימודים לשאלה כזו, או שלא ניתן לחשב את הזווית, כי פרט למספר הצלעות לא ניתנו להם נתונים מספריים נוספים ואין להם נוסחה לחישובה ועוד כהנה וכהנה, ממיטב הטרוניות על איכות הוראת המתמטיקה אפילו שם, בצד השני של כדור הארץ… לעומתם, היו כאלה שהודו שזו הייתה שאלה קלה ביותר, ואחד הגולשים אף התגאה שפתר אותה בעשר שניות.

החריד אותי הסרטון שהופץ ברשת כ"פתרון" של החידה, שתיאר שיטת פתרון נכונה אבל מסובכת לעייפה. המסביר נכנס לתוך המצולע (מצולע משוכלל בן 12 צלעות שוות) והראה כיצד בעזרת צעדי חישוב רבים ניתן לחשב את הזוויות במשולש הנוצר ממרכז המטבע ומכל אחת מצלעותיו. גם הרמז שניתן באתר "וויינט", שאמור להוביל לחישוב סכום הזוויות הפנימיות במצולע הוא רמז נכון, אבל מוביל גם הוא לדרך הקשה המתוארת בסרטון.

ציערה אותי העובדה שתלמידי התיכון באוסטרליה לא נחשפו לגיאומטריה הידועה בכינוי "הגיאומטריה של הצב" (כינויה המקצועי: "גיאומטריה אינטרינזית", "מבפנים") שהייתה מנת חלקם של כל אלה שלמדו לתכנת בלוגו בעזרת מורה שידע/ה מתמטיקה. בגיאומטריה של הצב אנו לא מתפקדים כבורא העולם הצופה במישור מגבוה אלא כמי שמשרטט, תוך כדי תנועה, שרטוטים לפי הוראות פשוטות שילדים בכיתה א' או ב' הבינו היטב.

אפשר לומר שמדובר כאן בכתב תנועה שחובר על-ידי אנשי חינוך ומדענים, עוד בשנות ה-60, כדי לקרב את התכנות אל ההמונים. מה יקרה אם תחשבו (מבלי לחשב חישובים) מה יש לומר לצב כדי שישרטט את קו המתאר של מטבע כמו מטבע 50 הסנטים האוסטרליים?

הטריק המתמטי (של אנשי המקצוע ולא של ההדיוטות) הוא לדחות את החישובים המפורטים עד כמה שיותר מאוחר. הדחייה המקצועית ביותר היא להשתמש באותיות סמליות כדי לייצג את ה"נעלם". ברגע שעושים זאת, מחלצים מהפתרון כל מיני פרטים מסיחים ולא חיוניים, וכבונוס מקבלים ניסוח המאפשר הכללה בקלי קלות. למשל, מה יהיה גודל הזווית אם במקום שני מטבעות עם 12 צלעות היינו לוקחים מטבעות עם 17 צלעות שעוצבו בארץ דמיונית לזכרו של גאוס? (גאוס מצא כיצד לשרטט מצולעים כאלה בעזרת סרגל ללא שנתות ומחוגה) וגם אם נסבך את השאלה ונבנה אותה משני מטבעות שונים, האחד נניח עם 12 צלעות השוות באורכן, והשני עם 17 צלעות שוות באורכן וגם שוות לצלעות המטבע הראשון. מה יהיה אז גודל הזווית?

נחזור אל הצב ונשאל מה עלינו לומר לו אם נרצה מטבע בן "מספר" צלעות שוות? עלינו לומר לו לחזור בדיוק "מספר" פעמים על התקדמות בגודל הצלע ולאחריה פנייה, נאמר ימינה, בזווית של "סיבוב שלם" חלקי ה"מספר".

למשל, במקרה שלנו הפנייה הדרושה היא בזווית (נניח במעלות) של 360 חלקי 12 – כלומר בזווית של 30 מעלות. לכן הזווית האמורה =60 מעלות, כי היא מורכבת מהפנייה ימינה עבור המטבע האחד ואותה פנייה, אבל שמאלה, עבור המטבע השני. מה שאפשר לראות בתמונה בעין חדה מספיק, בלי חישובים.

במקרה של שני המטבעות השונים, הזווית תהיה בת 50+20/17, כי הפנייה המגדירה את המטבע לזכרו של גאוס צריכה להיות 360/17 מעלות.

השיקולים האלה "בוצעו" מחוץ למטבעות, מתוך הסתכלות על צב שיכול לסחוב עט לשרטוט ואנו מורים לו להתקדם או/ו לפנות. אם נתעקש לחקור את הנעשה "בתוך" המטבעות, לא נצטרך להסתבך כפי שאם נחקור את מושאי החקירה באותו סגנון "מחוץ" להם. בסרטון מופנית תשומת הלב שלנו אל המשולשים המחלקים כל מטבע כאילו היה עוגה או פיצה. נגייס שוב את הצב המשרטט.שפי 2

אנו רוצים לשרטט את הפרוסה בתמונה שמולנו. אנו מניחים שקיבלנו את הפרוסה מחלוקה שווה של המטבע ל"מספר" חלקים שווים ולכן זווית הקדקוד שלו היא בדיוק 360 חלקי "מספר" (במקרה שלנו 30 מעלות)

עלינו לדמיין שהצב מוכן לתנועה כשהוא עומד בקדקוד השמאלי של בסיס הפרוסה ופניו היישר למעלה.

אם נסתכל בתמונה השנייה (עם "קווי הראייה" הכחולים) נגלה מיד מהי זווית הבסיס של המשולש: על הצב לפנות ימינה בזווית של מחצית זווית הקדקוד של הפרוסה.

אם כך, זווית הבסיס של המשולש היא 90 מינוס מחצית זווית הקדקוד של הפרוסה (במקרה שלנו 90-15, כלומר 75 מעלות). כלומר, לא היה עלינו לזכור כי סכום המעלות במשולש הוא 180 מעלות.

נחזור אל החידה ונסתכל בנקודת המפגש שבה נוצרה הזווית הנדונהנפגשות בה ארבע פרוסות (שתיים מכל מטבע) שמותירות את הרווח של הזווית. (אם אינכם רואים זאת בתמונה של המטבעות, שרטטו עליה את הפרוסות).

הזווית המבוקשת בחידה היא אם כך 360 מעלות מינוס 4×75( = 300), כלומר, קיבלנו שוב 60 מעלות!

 

על המחבר / המחברת

יהושפט (שפי) גבעון

יהושפט (שפי) גבעון

פרופסור. לימודי פיסיקה, פסיכולוגיה ניסויית, ופילוסופיה לתואר ראשון ולימודי מתמטיקה לתואר שני (האונ' העברית). תואר שני ושלישי במדעי התקשורת והמחשבים (אונ' מישיגן).

6 תגובות

  1. נ.
    נ. נובמבר 15 2015, 12:03
    מעניין ומיוחד

    אמנם לא כל אחד יתעניין במאמר כזה אבל גם באומנות או בשוק ההון לא כל אחד מתעניין

    השב לתגובה
  2. לאון
    לאון נובמבר 16 2015, 12:54
    לאיזה רמה של תלמידים מדובר?

    לא הבנתי בדיוק למי נתנו את הבחינה

    השב לתגובה
    • יהושפט גבעון
      יהושפט גבעון נובמבר 17 2015, 23:54
      ללאון: תודה על שאלתך.

      לפי הוויינט מדובר בתלמידי תיכון באוסטרליה. לא צויין איזו שנה/כתה. אני מנחש (לפי הגובות הנזעמות של כמה מהתלמידים) שמדובר במבחן בלימודים ולא במחן סקר כלשהו, או מבחן פסיכוצטרי. לכן אולי כתה י'.

      השב לתגובה
  3. אושרי
    אושרי דצמבר 28 2018, 16:23
    פתרון פשוט

    הסבר קצרצר
    נוצר קודקוד משולש
    במשולש יש 180 מעלות
    לכן התשובה 60

    השב לתגובה
  4. יהושפט גבעון
    יהושפט גבעון דצמבר 28 2018, 21:33
    הסבר קצר מדי

    מניין לנו שהמשולש שנוצר הוא שווה צלעות (ברור שהוא שווה שוקיים ובכל משולש סכום הזוויות הוא 180)???

    השב לתגובה

כתוב תגובה

הוסף תגובה:

<

* אני מתחייב לפעול על פי תנאי השימוש באתר


התגובות יפורסמו לפי שיקול דעת העורך

כתבות נוספות

פוסטים אחרונים בהגיגים

יתר המאמרים במדור
Do NOT follow this link or you will be banned from the site!